Marche aléatoire

LEÇON 9 Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Chaîne de Markov I Définition 9.1 Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn , n ∈ N) qui permet de modéliser l’évolution dynamique d’un système aléatoire : Xn représente l’état du système à l’instant n. Propriété de Markov Propriété 9.2 L’évolution future du système ne dépend du passé qu’à travers de sa valeur actuelle. Autrement dit, conditionnement à Xn , (X0

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

seront arrondis à 10−2 près. Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0, 1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec

probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif . PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10

LATHÉORIE DES MARCHÉS EFFICIENTS ET SES CONSÉQUENCES POUR LA FINANCE 1. 1. Les preuves de l’efficience des marchés 2. 2. Les leçons de l’efficience des marchés 2. II. – LAREMISE EN CAUSE DE L’EFFICIENCE DES MARCHÉS FINANCIERS 1. 1. La mise en évidence des anomalies 2. 2. L’apport de la finance comportementale 3. CONCLUSION : LES LIMITES DE LACONTESTATION DE LA THÉORIE DE L’EFFICIENCE Dans une revue très fouillée de la littérature sur le fonctionnement et l’efficience des marchés financiers européens

événements ne sont pas indépendants car : P(C)xP(F)= 0,12x0,0944=0,011328 Et P(C∩F)=0,024, P(C)xP(F)≠P(C∩F). 3) P(C∩F)= P(C)x P c-(F)= 0,88x0,92=0,8096(soit=81%) . L’affirmation du directeur est fausse. 4) On répète trois fois une expérience aléatoire ayant deux issues : avec défauts (p(e)), sans défauts (p(s)) . P(s)=0,8096 et P(e)=0,1904 de façon indépendante suit une loi binomiale B(3 ;0,8096) P(X=3)=1x0,80963x1,19040=0,531. EXERCICE 3 : 1)c 2)b 3)b 4)a EXERCICE 4 : 1)a) b) B(x)=0

172 175 175 176 177 177 177 10 Appendice : Mémento sur les martingales 179 11 Appendice : Mémento sur la théorie ergodique 181 Introduction Les suites de variables aléatoires présentant une structure de dépendance markovienne sont probablement, après les suites de variables aléatoires i.i.d., l'une des catégories d'objets les plus étudiées en probabilités. Elles jouent un grand rôle à la fois dans la théorie et dans les applications, et ont fait l'objet de développements

cours d’une période d’assurance. L’opération d’assurance substitue une constante c à la variable aléatoire S. Comment déterminer c ? Ch. Suquet (Lille 1) Assurances et probabilités 12 avril 2007 4 / 23 Prime pure 1 Soit S la charge totale de sinistre relative à une police donnée au cours d’une période d’assurance. L’opération d’assurance substitue une constante c à la variable aléatoire S. Comment déterminer c ? On cherche c « proche » de S en introduisant une distance pénalisant symétriquement

œuvre de toutes les procédures offre beaucoup d’avantage aux enquêtes par sondage. C Précision et richesse des observations : Grâce à sa taille, l’enquête par sondage permet l’intérêt d’un enquêteur de métier (enquête socio-économique, enquête de marché), de personnel, de qualité (contrôle de mesure de fabrication) et rend possible l’observation précise et simultané de nombreux caractères. Ex1 : « pour une de consommation »  Caractéristique socio-démographique : effectif et composition par âge

concret : ..................................................................................... 53 III-4 Simulation des variables aléatoires : ................................................................... 54 III-4-1 Simulation d’une loi uniforme sur [0,1] :........................................................ 55 III-4-2 Simulation d’autres variables aléatoires: .......................................................... 55 a- Simulation de variables gaussiennes : .........................