Matrice inversible

considérant les R i comme des vecteurs colonnes, on a R i +1 = AR i . Ainsi, on a R n = A n R 0 . Remarquons que le déterminant de A est égal à c L . Ainsi, si c L = 1, la matrice A est inversible et le LFSR ne passe jamais par le registre nul. La condition R i 0 = R i 0+T devient A i 0 R 0 = A i 0+T R 0 mais comme A est inversible, on en déduit R 0 = A T R 0 = R T et la suite s est périodique. 17 Complexité linéaire des LFSRs. Associons à la suite (s n )n≥0 la série géneratrice s(X ) = n≥0

montrer que les suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 vérifient les relations : −7an + 11bn 3an + bn et bn+1 = . a0 = 0 ; b0 = 6 et, pour tout entier naturel n, an+1 = 2 2 ⎛ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ et, pour tout entier naturel n, on pose Xn = ⎜ ⎜ On note A la matrice ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 7 ⎜ 11 ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ bn 2 n 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : Xn+1 = A ⋅ Xn et Xn = A ⋅ X0 . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 3 ⎛ 3 1 1 ⎞ ⎛ × an + × bn ⎟ ⎜ an+1 ⎟ ⎜ an ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ∀n ∈ N : A ⋅ Xn = ⎜ 2 ⎟

orthogonal à 2 vecteurs donnés etc… Matrices Type d'une matrice : une matrice à m lignes et n colonnes est dite de type (m,n). Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 hors de la diagonale, elle est notée I ou E. Egalité de deux matrices : Deux matrices de même type sont égales si leurs composantes sont égales deux à deux. Addition et soustraction de matrices : on ne peut faire ces opérations que sur des matrices de même type. Les matrices s'additionnent ou se soustraient

standard Notations Recherche d’une solution optimale ´ ´ Resume ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe Matrices, inverses etc • Il est necessaire de maˆtriser un minimum d’algebre ´ ` ı ´ lineaire : matrices (addition, multiplication etc), inverses etc. • Pour les exercices, TD, TPs et examen, on peut vous ` demander d’inverser a la main une matrice 3 × 3. • Un cours complet d’algebre lineaire : ` ´ http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ : 440 pages, libre, avec

neutre e, alors (F, ∗) ıde, (avec la loi induite) est encore un mono¨ ıde. I.8 Sym´trique d’un ´l´ment e ee D´finition e Soit (E, ∗) un mono¨ d’´l´ment neutre e. Soit x un ´l´ment de E. ıde e e ee On dit que x est sym´trisable (ou inversible) pour la loi ∗, s’il existe un ´l´ment x de E e ee tel que x ∗ x = x ∗ x = e. Si un tel ´l´ment x existe, il est unique. On l’appelle le sym´trique (ou l’inverse) de x. ee e Notation additive Dans le cas d’une loi + (n´cessairement commutative

modalité rare . . . . . . . 4.2.4 Prévisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.1 Classement d’une nouvelle observation . . . . . 4.2.4.2 Notions de score . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.3 Tableau de classement ou matrice de confusion . Sensibilité et spécificité . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Tests, intervalles de confiance et choix de modèle . . . . . . . . . 4.3.1 Tests sur βj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Intervalles de confiance .

des vecteurs lignes entre eux, par contre on peut multiplier des vecteurs lignes et des vecteurs colonnes. Donc on peut donner un sens à : At B = (2 × 1 + 1 × 3 + 1 × 1) = (6) B t A = 1 × 2 + 3 × 1 + 1 × 1) = (6) Où t M est la transposée de la matrice M Et également :  2 6 2 t AB =  1 3 1  1 3 1   2 1 1 t BA =  6 3 3  2 1 1  3)C'est le même exercice que ci-dessus. 4)A = 2 1 1 1 1 2 ,B= 2 1 1 1 AB n'a pas de sens. BA = 5 3 3 2 5 3 1 5)A =  0 3  2 −1 1  

La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer qu’il existe u ∈ S(En ) ayant toutes ses valeurs propres strictement positives tel que : 2 ∀(x, y) ∈ En

d’application 4Motivation  Un voyageur de commerce, basé à Toulon, doit visiter ses clients à travers la France  Il souhaite effectuer la tournée la plus courte possible 𝐷𝐷 5Motivation  Données:  𝑛𝑛 villes avec une matrice de distances  Solution:  Tournée visitant chaque ville et revenant au point de départ 𝐷𝐷 6Motivation 7Motivation  Pouvons-nous fournir des méthodes pour répondre à un type précis de problème, c’est-à-dire à élaborer une démarche

hypothèse suppose qu'aucune des variables explicatives du modèle ne peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres variables. Ce qui revient à inversible avec la transposée du vecteur en notation vectorielle et à inversible avec la transposée de la matrice en notation matricielle. Cette condition est souvent exprimée par le fait que la matrice est de rang maximum. En régression simple, il suffit de dire que tels que . Normalité des termes d'erreur Une hypothèses plus forte que les deux premières