Matrice inversible

$\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$

et B, laquelle est préférable ? Exercice 6 (d’après HEC 2003 voie E) Partie A a b Soient a et b deux réels strictement positifs et A la matrice définie par : A =  b a .    2 1) Calculer la matrice A − 2aA . 2) En déduire que si a ≠ b , la matrice A est inversible et calculer son inverse. 3) Si a = b , la matrice A est-elle inversible ? 4) Montrer que les valeurs propres de A sont a + b et a − b . Partie B Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et soit q = 1 − p . On suppose que

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .

comprise entre 0 et 1).          On utilisera des notations matricielles:          W = [wi,j] = matrice d'ordre I * J des poids des connexions i -&gt; j reliant les cellules de la rétine aux cellules de sortie.          X = [xi,k] = matrice d'ordre I * K des K stimuli, xk correspondant à la colonne numéro k de X. Les vecteurs sont supposés normalisés:          ||xk|| = 1          A = [aj,k] = matrice d'ordre J * K des activations des J cellules de sortie pour les K stimuli. L'activation de l'ensemble

℘(p), ∀p ∈ 0, n j k =0 Ce qui achève la démonstration. Preuve en inversant la matrice des coefficients binomiaux : a0 a1 b0 b1 p k C p bk ∀p ∈ 0, n se traduit alors matriciellement par : k =0 ¢ ¡ Notons An = a2 et Bn = b2 . La relation ap = an bn 1 1 An = MnBn avec Mn = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 Cn 1 2 Cn Cn Les matrices Mn sont triangulaires, de déterminant 1, donc inversibles. En inversant Mn, on déduira une £ £ £ £ expression des bp (0 p n) en fonction

de la porte. On désigne par U n la matrice bn 1. Soit n un entier naturel. 0, 45 . a. Justifier que U 1 = 0, 55 b. Exprimer an+1 et b n+1 en fonction de an et b n . c. En déduire que U n+1 = MU n où M est une matrice que l’on précisera. On admet sans démonstration que U n = M n U 0 . d. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours. 2. Soit la matrice P = 1 2 1 . −1 1 a. Calculer P 2 . En déduire que P est inversible et P −1 = P . 3 Métropole 4 Baccalauréat

Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques

............................................................ 275 Matrices et suites ........................................................................................... 283 chapitre 4. Matrices carrées : évolution de processus ............................................... 285 chapitre 5. Matrices carrées inversibles et applications ........................................... 293 chapitre 6. Matrices et études asymptotiques de processus discrets .................. 301

Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer que Im tr = IR. b) En déduire la dimension de Ker tr. c) Établir que Mn(IR) = Ker tr ⊕ Vect(I). 2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Probabilités 30 3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .