Mesure de Lebesgue

que peut rencontrer un décideur. Même dans le cas où la décision ne concerne que lui-même, le décideur peut ne pas savoir comment « prendre » le problème, c’est-à-dire comment l’analyser, décrire les décisions alternatives et leurs conséquences, mesurer la portée de ses actes… C’est aussi pour tenter de répondre à ces questions que la théorie de la décision s’est développée. Les différents aspects de la description et de la résolution de problèmes de décision que nous introduisons dans cet ouvrage

sous forme standard si toutes les contraintes sont des contraintes d’égalité et toutes les variables sont positives. Considérons la première contrainte : 3x1 + 3.5x2 + 5x3 ≤ 2250. On introduit une variable positive appelée « variable d’écart » qui mesure l’écart entre le deuxième et le premier membre de l’inégalité. On obtient : 3x1 + 3.5x2 + 5x3 + e1 = 2250 avec e1 ≥ 0. On fait de même dans les 5 autres contraintes : – 4x1 + 5x2 + 8x3 ≤ 3000 devient 4x1 + 5x2 + 8x2 + e2 = 3000 avec e2 ≥ 0 – x1 +

l’intégrale de Riemann de f sur [a, b], et on le note b∫ a f (x) dx. Remarque 1.3 La variable d’intégration x dans b∫ a f (x) dx est une variable muette, c’est- à-dire elle peut être remplacée par n’importe quelle autre variable, et dx est la mesure de Lebesgue. Proposition 1.1 (Critère d’intégrabilité de Riemann) une fonction f est Riemann- intégrable sur [a, b] ssi pour tout ε > 0, il existe une subdivision X ∈ Sa,b telle que S (f, d)− s (f, d) < ε. Théorème 1.1 Toute fonction monotone ou continue

s’agit ı e e bien d’un probl` me de mod´ lisation ou apprentissage supervis´ : trouver une fonction φ susceptible, au e e e mieux selon un crit` re a d´ finir, de reproduire Y ayant observ´ X. e ` e e Y = φ(X) + ε o` ε symbolise le bruit ou erreur de mesure avec le parti pris le plus commun que cette erreur est additive. u ` Dans le cas contraire, en l’absence d’une variable a expliquer, il s’agit alors d’apprentissage dit nonsupervis´ . L’ojectif g´ n´ ralement poursuivi est la recherche d’une typologie

deux dés indiscernables revient à sélectionner un élément de l’ensemble Ω des couples (i,j) avec 1 ≤ i ≤ j ≤ 6 (ici Ω a 6+ 1 6×5 = 21 points). Observer la durée de vie d’une ampoule 2 de 100 watts revient à sélectionner un élément de Ω = [0, + ∞[. Mesurer la durée de vie de 12 ampoules de 100 watts est sélectionner un élément de Ω = [0, + ∞[12 . Cet ensemble Ω est appelé l’espace des observables. On dit aussi dans la littérature l’espace échantillon, l’espace des évènements - élémentaires, l’expérimental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Pierre Laurent, 1813-1854. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Henri Lebesgue, 1875-1941. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Joseph Liouville, 1809-1882. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

critères de choix La mesure des performances 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rapport d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Distance générationnelle . . . . . . . . . . 7.4 Métrique STDGD . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Erreur maximale à la surface de compromis 7.6 Hypersurface et rapport d’hypersurface . . 7.7 Espacement . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Métrique HRS . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Ensemble des vecteurs non dominés ultimes 7.10 Mesure de la progression

suivants : D´ eterministe/al´ eatoire : la premi`ere distinction porte sur notre capacit´e `a pr´edire l’´evolution temporelle de la grandeur observ´ee. Si on prend, par exemple, un oscillateur sinuso¨ıdal d’amplitude A et de fr´equence f0 , moyennant la mesure de A et de f0 , on peut alors pr´edire la valeur de l’amplitude, `a tout instant, par l’expression x(t) = A cos(2πf0 t). Un tel mod`ele de signal est dit d´eterministe. Il existe cependant des situations o` u il n’est pas concevable d’expliciter,

probabilit´ comme fonction d’ensembles e Ce titre appelle tout de suite une explication. La probabilit´ P telle que e nous allons la d´finir ci-dessous est une fonction qui ` un ´v´nement associe e a e e un nombre compris entre 0 et 1 et cens´ mesurer les chances de r´alisation e e de cet ´v´nement. Pour des raisons sortant du cadre de ce cours, il n’est pas e e 1 ` passer en premi`re lecture. a e 4 Ch. Suquet, Probabilit´s e 1.3. La probabilit´ comme fonction d’ensembles e toujours

quel le roi est acclamé par les assistant et on lui dépose des gout d'huile sainte puis efin le roi est couronné, symbole de son autorité. Conséquence : La royauté n'est plus une institution purement laïque, elle prend un caractère religieux dans la mesure ou le roi est censé tenir son pouvoir par la grace de dieu, il ne dépend plus seulement du pouvoir de ses guerriers il a maintenant une origine divine. Il fait figure de médiateur entre le ciel et la terre et est assimilé au prêtre et n'apartient