Mesure de Lebesgue

et de l’analyse, et utilis´ dans de nombreuses branches des math´ matiques. e e L’int´ gration permet, entre autres, de calculer la surface de l’espace d´ limit´ par e e e la repr´ sentation graphique d’une fonction f. e Les op´ rations de mesure de grandeurs (longueur d’une courbe, aire, voe lume, flux...) et de calcul de probabilit´ s etant souvent soumises a des calculs e ´ ` d’int´ grales, l’int´ gration est un outil scientifique fondamental. C’est la raison e e pour laquelle l’int´

La r´ponse a cette obe e ` jection tient dans un slogan : la s´paration d’´chelles. Si les lois fondamentales de e e la physique s’exercent au niveau microscopique, particulaire (atomes, mol´cules...), e les ph´nom`nes que nous pouvons sentir ou mesurer mettent en jeu un nombre e e consid´rable de particules. L’effet de ce nombre est d’autant plus grand qu’il intere vient dans des calculs combinatoires : si N , le nombre d’atomes participant a une ` exp´rience, est de l’ordre de 1010 , c’est d´j`

fonctions analytiques. Quant à la partie III, comme dans le cas d’une variable, l’intégration a deux aspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calcul d’aires (ou de volumes) ; cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure qui constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi le rôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la recherche de primitives

730 Traitement et analyse des images 3 IMN 763 Conception géométrique assistée par ordinateur 3 IMN 764 Méthodes mathématiques du traitement du signal 3 IMN 786 Vision artificielle 3 MAT 711 Théorie des catégories 3 MAT 712 Mesure et intégration 3 MAT 714 Méthodes numériques 3 MAT 721 Algèbre non commutative 3 MAT 723 Topologie générale 3 MAT 728 Sujets choisis en algèbre 3 MAT 729 Algèbre commutative et géométrie algébrique 3 MAT 731 Groupes et

propriété soit vraie et pour la faire valider par l'ensemble de la communauté mathématique ou scientifique, il faut une démonstration. La démonstration n'est donc pas la tâche essentielle du travail du mathématicien, mais son achèvement. Dans une moindre mesure, on demande la même chose à l'étudiant scientifique. Ce dernier, apprenti mathématicien, a parfois du mal à mettre en forme une démonstration. Ce paragraphe peut lui donner quelques procédés méthodiques. La démarche démonstrative repose sur une liste

simplifier o a l’´tude de la suite des Xn . Par exemple, pour λ = 4 on connait la mesure de probabilit´ e e −1 = ν. invariante du processus, c’est-`-dire la mesure ν telle que ν ◦ f a 12 CHAPITRE 1. EXEMPLES DE PROCESSUS STOCHASTIQUES Chapitre 2 Construction g´n´rale de e e processus stochastiques ` temps a discret 2.1 Pr´liminaires et rappels e Rappelons quelques notions de base de th´orie de la mesure et de probabilit´s. e e Soit Ω un ensemble non vide, et soit F une tribu sur Ω

cartes. Que signifie math´matiquement que le tirage est effectu´ au e e hasard ? Comment pourrait-on chercher ` le v´rifier ? a e ⊲ Exercice 2. Comment se pose le probl`me pour le tirage d’un individu dans une classe, dans e une grande ville ? Dans quelle mesure peut-on le ramener au tirage d’un nombre au hasard. De quelle fa¸on ce tirage peut-il ˆtre effectu´ ` l’aide d’un jeu de pile ou face ? c e ea Cette affirmation n’est valable que dans certaines limites, qui ne sont pas franchies dans la pratique courante

variable aléatoire qui prend pour valeurs E(Y/X=x)= ∑ y. P (Y =y / X= x) avec y les probabilités P(X=x), on a : E[E(Y/X)]=E(Y) 7 III.3- Variance La variance est définie par : V(X) = E [(X-E(X))2 ] On voit dans cette définition que l’on cherche à mesurer « en moyenne » (en espérance), l’écart de la variable aléatoire à E(X). V(X) traduit la dispersion des résultats de X autour de la « moyenne ». L’écart type (noté σ) de X est la racine carrée de la variance V(X) σ= V( X) Propriétés de la variance

mais il est bien reconnu que l’expression mathématique qui a été ainsi donnée aux concepts fondamentaux confère à ceux-ci une clarté et une maniabilité beaucoup plus grandes. L’utilisation des notions et résultats fondamentaux de la théorie de la mesure et de l’intégration constitue une des difficultés principales de cette présentation moderne des Probabilités. Nous avons essayé de minimiser cette difficulté en faisant, au cours du texte, les rappels des notions et résultats utilisés. On trouvera dans

Bernard Jurion (p421)l’offre de monnaie s’écrit Mn = L (Y, r) - Chez Ousmane SAMBA MAMADOU « L’équilibre entre l’offre de monnaie (M2o) et la demande de monnaie correspondante (M2d) est donné par l’égalité suivante : (11) M2d = M2o. Dans la mesure où la demande de monnaie est connue (à travers l'équation 4), l'équilibre du marché de la monnaie est alors assuré par l'ajustement des autres postes nets, ce qui permet de combiner les équations (7) et (11) en posant comme condition d'équilibre4