Mesure de Lebesgue

∈ RN . D´monstration. Par hypoth`se, les fonctions f et g sont convolables, c’est e e a ` dire qu’il existe un ensemble N ⊂ RN de mesure nulle tel que, pour tout x ∈ RN \ N , la fonction Hx : y → f (x − y)g(y) est int´grable sur RN . e Pour x ∈ RN \ N quelconque, le changement de variables y → z = x − y de jacobien (−1)N , qui pr´serve donc la mesure de Lebesgue sur RN (cf. cours de e P. Colmez, chapitre III.3.2), transforme la fonction Hx int´grable sur RN en la e fonction Kx : z → Kx (z) :=

. 1.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Regression linèaire multiple . . . . . . . . . . . 1.3 Mesure (descriptive) de la qualité de l’ajustement linéaire 1.3.1 Trois concepts différents de la variation de y . . 1.3.2 Mesure de la qualité de l’ajustement linéaire . . 1.4 Une illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La multicolinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compléments

avons alors mis en pratique le fonctionnement de ces algorithmes pour une application à la géologie, où la modélisation des fractures dans des massifs rocheux est recherchée car les mesures directes n’y sont pas précises. Nous 3avons dans cette optique commencé une étude de l’influence des erreurs de mesures dues aux relèvement manuels du positionnement des fractures sur les carottes. Puis nous avons fini par l’étude d’un cas particulier de forage, où sont présents deux principaux types

[4]) : Théorème 6.2.2 (Formule de Green). Soit Ω un ouvert de Rd régulier de classe C 1 . Alors, pour toute fonction w ∈ C 1 (Ω)d à support borné dans Ω, on a div(w)(x) dx = ∂Ω Ω w(x) · ν(x) dσx , (6.2.1) où dσx désigne la mesure surfacique sur ∂Ω (mesure de Lebesgue en dimension d − 1), · est le produit scalaire usuel de Rd et div(w) := ∂x1 w1 + · · · + ∂xd wd est la divergence de w := (w1 , . . . , wd ). En prenant w(x) := u(x) v(x), où u ∈ C 1 (Ω)d et v ∈ C 1 (Ω), on obtient div(w) = ∇v ·

e e 1.1 D´finitions e En licence, nous avons vu que l’introduction d’une norme permettait d’atteindre ce but. Dans ce cours, nous serons parfois amen´s ` manipuler des objets pour lesquels l’introduction e a d’une norme ne permet pas de mesurer la proximit´ de fa¸on ad´quate, et nous aurons besoin e c e de d´finir une notion encore plus g´n´rale. e e e Cela peut ˆtre fait par le biais de la d´finition suivante. e e D´finition. Soit X un ensemble. On appelle topologie sur X la donn´e d’un ensemble

1 Probabilités 1.1 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’espace des observables Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La tribu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 La mesure de probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variables aléatoires à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Densité de probabilité . . . . . . .

condition supn I E|Xn | < +∞ n’implique pas la convergence dans L1 comme le montre l’exemple suivant. Ceci est naturellement ` rapprocher de l’´quia e int´grabilit´ (voir Exercice ??). e e Exemple 4.15. On choisit Ω = [0, 1], F = B(R), P = mesure de Lebesgue, Fn = σ([k2−n , (k + 1)2−n [, k = 0, ..., 2n − 1), Xn = 2n 1[0,2−n [ . On v´rifie facilement que Xn est une Fn martingale, que e Xn converge vers 0, que I E|Xn | = I E(Xn ) = 1 et donc que Xn ne converge pas vers 0 dans L1 . 4.7. Martingales

d’états communicants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Théorèmes limites . Cas j transient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Période d’un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . .

stochastiques. La formalisation théorique de ce problème à elle seule a posé problème aux mathématiciens. Il a fallu attendre les travaux du mathématcien japonais Itô Kiyoshi pour dénir l'intégrale stochastique. Il s'agit d'étendre la notion d'intégrale de Lebesgue aux processus stochastiques selon un mouvement Brownien. Nous nous limiterons dans ce rapport à la construction de cette intégrale stochastique et à l'étude des concepts de base de cette théorie dans la perspective de généraliser les principes vus

est l’ensemble des parties de X : A = P(X ). C’est le cas quand l’´l´ment al´atoire ee e observ´ X a une loi de probabilit´ discr`te. e e e On dit que le mod`le est continu quand X ⊂ I p et ∀P ∈ P, P admet une densit´ e R e p (par rapport a la mesure de Lebesgue) dans I . Dans ce cas, A est la tribu des bor´liens ` R e de X (tribu engendr´e par les ouverts de X ) : A = B(X ). e On peut aussi envisager des mod`les ni continus ni discrets, par exemple si l’observation e a certains ´l´ments continus et