Mesure de Lebesgue

est strictement croissante. Ce résultat est plus subtil à prouver dans le cas où f est simplement dérivable. 1. Établir l’inégalité des accroissements finis |f (b) − f (a)| M(b − a). 4.20. On réalise un ensemble M = {Mk = (ik ; uk ), 1 k n} de mesures de tension et intensité aux bornes d’une résistance r inconnue, que l’on rappelle soumise à la loi d’Ohm u = ri. On souhaite donner la meilleure valeur de r au sens des moindres carrés. Pour cela, on place notre nuage M de points et on cherche a tel

b]), le module de continuit´ de f est la fonction e e e ωf : R+ → R+ d´finie par ωf (t) = sup {|f (x) − f (y)| ; x, y ∈ [a, b] avec |x − y| ≤ t}. Pour tous x, y ∈ [a, b], on a alors |f (x) − f (y)| ≤ ωf (|x − y|), de sorte que ωf mesure quantitativement la continuit´ de f . e Propri´t´s du module de continuit´ ee e (i) t → ωf (t) est une fonction croissante. (ii) lim ωf (t) = 0. + t→0 (iii) Pour tous t1 , t2 ∈ R+ , ωf (t1 + t2 ) ≤ ωf (t1 ) + ωf (t2 ). (iv) Pour tout

Montrer que H, A et G sont alignés en précisant leurs positions relatives. 2. Montrer que (H D) est orthogonale au plan (ABC). 3. Exprimer H A, H B, H C, H D, G A, G B, GC et G D en fonction de a. − − → → 4. Calculer G A · G B ; en déduire une mesure de l’angle AG B en fonction d’arccosinus. 5. Application numérique : exprimer cet angle en degrés et minutes. Commenter. 1. Les points H et G sont définis par des relations vectorielles. Nous allons donc essayer d’obtenir une traduction vectorielle

est strictement croissante. Ce résultat est plus subtil à prouver dans le cas où f est simplement dérivable. 1. Établir l’inégalité des accroissements finis |f (b) − f (a)| M(b − a). 4.27. On réalise un ensemble M = {Mk = (ik ; uk ), 1 k n} de mesures de tension et intensité aux bornes d’une résistance r inconnue, que l’on rappelle soumise à la loi d’Ohm u = ri. On souhaite donner la meilleure valeur de r au sens des moindres carrés. Pour cela, on place notre nuage M de points et on cherche a tel

liaison entre Xi et son passé Xi¡1 ; Xi¡2 ; :::; X1 . 2.1 Rappels sur les martingales à temps discret Un processus (à temps discret ) sur un espace (-; A; P) est une suite de variables aléatoires (Xt (!) ; t 2 N), à valeurs dans un espace mesuré (E; E) (dans le cas qui nous intéresse, E = R). On peut considérer le processus comme la variable aléatoire X (t; !), dé…ni sur l’espace produit - £ N muni de la tribu produit. Dé…nition 1 Une …ltration fFt ; t 2 Ng est la donnée d’une suite croissante

y ρ θ M x Fig. 1.4 – Coordonnées polaires (ρ, θ). − − → → Si M a pour coordonnées (x, y) dans un repère orthonormé (O, i , j ), ρ et θ correspondent respec− −→ → − tivement à la distance au centre (c’est-à-dire ρ = x2 + y 2 ) et à une mesure de l’angle ( i , OM ). Notons enfin que ce changement intervient souvent lorsque f (x, y) ne dépend que de la distance au centre, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire comme une fonction de x2 + y 2 . On dit dans ce cas que f est radiale et son expression

larges et utiliser les in´galit´s strictes seulement lorsqu’elles sont n´cessaires. e e e e e D´finition 8.1 : Valeur absolue, distance de deux points e On d´finit pour un r´el x sa valeur absolue : e e |x| = max(x, − x) La quantit´ d(x,y) = |x − y| mesure la distance entre deux r´els x et y. e e Th´or`me 8.1 : In´galit´ triangulaire e e e e – |xy| = |x|.|y| – |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (in´galit´ triangulaire). e e Th´or`me 8.2 : Quelques in´galit´s classiques e e e e ∀(a,b) ∈ R2 , |ab| ≤ a2 +

utiliser les in´galit´s strictes seulement lorsqu’elles sont n´cessaires. e e e e e D´finition 8.1 : Valeur absolue, distance de deux points e On d´finit pour un r´el x sa valeur absolue : e e |x| = max(x, − x) La quantit´ d(x,y) = |x − y| mesure la distance entre deux r´els x et y. e e Th´or`me 8.1 : In´galit´ triangulaire e e e e – |xy| = |x|.|y| – |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (in´galit´ triangulaire). e e Th´or`me 8.2 : Quelques in´galit´s classiques e e e e ∀(a,b) ∈ R2

utiliser les in´galit´s strictes seulement lorsqu’elles sont n´cessaires. e e e e e D´finition 8.1 : Valeur absolue, distance de deux points e On d´finit pour un r´el x sa valeur absolue : e e |x| = max(x, − x) La quantit´ d(x,y) = |x − y| mesure la distance entre deux r´els x et y. e e Th´or`me 8.1 : In´galit´ triangulaire e e e e – |xy| = |x|.|y| – |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (in´galit´ triangulaire). e e Th´or`me 8.2 : Quelques in´galit´s classiques e e e e ∀(a,b) ∈ R2

rappelle que sin a − sin b = 2 sin 2. Montrer que, si f b Jn = a+b a−b cos . Calculer In pour tout n ∈ N. 2 2 est une fonction de classe C 1 sur l’intervalle [a, b], alors f (t) sin nt dt a pour limite 0 quand n tend vers +∞ (lemme de Lebesgue). a 1 1 p par f (t) = − peut être prolongée en 3. Montrer que l’application définie sur 0, 2 t sin t p une fonction de classe C 1 sur 0, . 2 p 4. En déduire que I = · 2 11. (D’après ESCP 2002) Soit a un réel strictement supérieur