Mesure de Lebesgue

xph em PP T x φ(t)dt ec MM x= 0 PN et xn = k ea φ(tk )αk Figure 1.6. Les divers types d’erreur au cours d’un processus de calcul 1.6 L’erreur n’est pas seulement humaine 27 où | · | désigne le module, ou toute autre mesure de (valeur absolue, norme) selon la nature de x. Le calcul numérique consiste généralement à approcher le modèle mathématique en faisant intervenir un paramètre de discrétisation, que nous noterons h et que nous supposerons positif. Si, quand h tend

probabilit´ comme fonction d’ensembles e Ce titre appelle tout de suite une explication. La probabilit´ P telle que e nous allons la d´finir ci-dessous est une fonction qui ` un ´v´nement associe e a e e un nombre compris entre 0 et 1 et cens´ mesurer les chances de r´alisation e e de cet ´v´nement. Pour des raisons sortant du cadre de ce cours, il n’est pas e e 1 4 ` passer en premi`re lecture. a e Ch. Suquet, Probabilit´s e 1.3. La probabilit´ comme fonction d’ensembles

probabilit´ comme fonction d’ensembles e Ce titre appelle tout de suite une explication. La probabilit´ P telle que e nous allons la d´finir ci-dessous est une fonction qui ` un ´v´nement associe e a e e un nombre compris entre 0 et 1 et cens´ mesurer les chances de r´alisation e e de cet ´v´nement. Pour des raisons sortant du cadre de ce cours, il n’est pas e e 1 4 ` passer en premi`re lecture. a e Ch. Suquet, Probabilit´s e 1.3. La probabilit´ comme fonction d’ensembles

devait expirer e e aujourd’hui (la valeur du pay-off aujourd’hui). • La valeur temps d’une option est ´gale ` son prix moins sa valeur intrins`que. e a e Les options les plus liquides sont les options ` la monnaie (ATM) et, dans une moindre mesure, les options hors a de la monnaie (OTM). Un exemple de feuille de prix d’options europ´ennes est donne sur fig. 1.1. e 7 SURFACE DE VOLATILITE Propri´t´s des prix de calls/puts Toutes les propri´t´s ci-dessous d´coulent de l’absence d’opportunit´s

probabilit´ comme fonction d’ensembles e Ce titre appelle tout de suite une explication. La probabilit´ P telle que e nous allons la d´finir ci-dessous est une fonction qui ` un ´v´nement associe e a e e un nombre compris entre 0 et 1 et cens´ mesurer les chances de r´alisation e e de cet ´v´nement. Pour des raisons sortant du cadre de ce cours, il n’est pas e e 1 4 ` passer en premi`re lecture. a e Ch. Suquet, Probabilit´s e 1.3. La probabilit´ comme fonction d’ensembles

.................. 10 104.1.2 Un paradoxe célèbre ..................................... Il 104.1.3 La vision fréquentiste .................................... 12 104.2 La conception subjectiviste ....................................... 12 1.4.2.1 Mesure d'incertitude .................................... 13 1.4.2.2 Le bayésianisme ........................................ 13 Ch 2 : Variables aléatoires .............................................. \5 2.1 Loi de probabilité et moments d'une variable

en achetant l’action au prix K et en la revendant sur le marché au cours S T . On voit qu’à l’échéance, la valeur du call est donnée par la quantité : (ST − K)+ = max(ST − K, 0). Pour le vendeur de l’option, il s’agit, en cas d’exercice, d’être en mesure de fournir une action au prix K, et, par conséquent de pouvoir produire à l’échéance une richesse égale à (S T − K)+ . Au moment de la vente de l’option, qu’on prendra pour origine des temps, le cours S T est inconnu et deux questions se posent :

c. Autres lois à densité : méthode du ratio de lois uniformes yn peut ég—lement utiliser ™ette —ppro™he pour é™rire un —lgorithme pro™he de ™elui ™onsidéré d—ns l— ƒe™tion IFQFP pour les lois à densité m—is plus simple à mettre en oeuvre d—ns l— mesure où il ne né™essite p—s de trouver une densité g et un réel a telle que f ≤ ag D voir €roposition IFQFWF suppose que l'ensemble Proposition 1.3.18 Soit Df := f une densité sur R et deux réels a1 ∈ R et a2 > 0. On v u (u, v) ∈ R2 : 0 <

dans X...) 24 1.4.4 Application 2 : le th´or`me de Stampacchia* e e Ce th´or`me g´n´ralise le th´or`me de Lax-Milgram. Il semble qu’il soit souvent pr´sent´ e e e e e e e e a l’oral de l’agreg, sans que les candidats soient toujours en mesure d’en donner une ap` plication ni mˆme de motiver ce r´sultat (voir rapports du jury). e e Th´or`me 1.4.8 (Stampacchia) – Soit H un espace de Hilbert, K un convexe ferm´ non e e e vide. Soit a : H × H → R une forme bilin´aire continue et coercive,

décrits ici partagent des caractéristiques communes [..]L’objectif à atteindre étant la solution approchée d’un certain problème avec une précision ε fixée, un critère de choix important dans le choix d’une méthode numérique est le temps d’éxécution, mesuré en nombre d’opérations élémentaires (la complexité de l’algorithme). Intervient alors la notion de taille du problème, qui est un entier n dont la signification est habituellement claire en fonction du context - taille d’espace, taille de matrices