Mesure de Lebesgue

gration e e Jean JACOD 2002-2003 Table des mati` res e 1 Introduction - La notion de mesure 1.1 Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . 1.2 Th´ orie de la mesure et th´ orie de l’int´ gration e e e 1.3 La classe des ensembles mesurables . . . . . . 1.4 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . ` L’int´ gration par rapport a une mesure e 2.1 Les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . 2.2 L’int´ grale des fonctions mesurables

HÉORIE DE LA MESURE ET DE L’ INTÉGRATION . T HIERRY G ALLAY Transcrit par Tancrède L EPOINT 2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . . .

fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e de mesures La mesure produit Le th´eor`eme de Fubini Int´egrales multiples ´ Evaluation, mesures de comptage et s´eries Existence de mesures Mesures sur R et la mesure de Lebesgue sur Rd L’int´egrale de Riemann versus celle de Lebesgue Construction de mesures Quelques applications

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

Académie Internationale Mohammed VI de l’ Aviation Civile Casablanca Ingénieurs de l’ Aviation Civile Année 2008 Analyse Intégrale de Lebesgue —————————————————————————————— 1 Tribu Soit X un ensemble on note par P(X) l’ ensemble de tous les sous-ensembles de X. Une collection d’ ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que

. . . . 14 3 Mesures et int¶egration 16 3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Int¶egration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Th¶eorµemes de convergence et fonctions int¶egrables 26 4.1 Th¶eorµemes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Fonctions Int¶egrables et ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . 31 5 La mesure de Lebesgue sur R 36 5.1

Soient S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S). Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement : Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q. De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il

démontre trois problèmes de l’intégrale de Reimann : 1- SI l’ensemble de points de discontinuités n’est pas de mesure nulle, alors la fonction ne sera pas intégrable au sens de Reimann. 2- Il existe des fonctions intégrables dont leur dérivée ne l’est pas. 3- On ne peut intégrer des séries de fonctions. Dans les année 1900 ,Henri-Léon Lebesgue, mathématicien français, expose les sommes de Lebesgue, où il faut partitionner de l’image de la fonction. En 1960, Henstock et Kurzweil proposent une nouvelle

τ(ℳ) τ(?) ⊆ τ(ℳ) ⇒ ℬ(ℝn) ⊆ τ(ℳ). On a une inclusion. Puisque les boules dans ℳ sont ouvertes, on a que ℳ ⊆ (ℝn) ⊆ ℬ(ℝn) τ(ℳ) ⊆ ℬ(ℝn). On a la seconde inclusion. Par double inclusion, on a donc que ℬ(ℝn) = τ(ℳ), d’où le résultat. ∎ Chapitre 2 : Mesures positives. 2.1 Quelques définitions. Dans la suite de cette partie, (Ω,?) est un espace mesurable. 2.1.1 Notations : Soit (Xi)i∈I une famille de parties d’un ensemble avec I dénombrable. Lorsque : ∀ (i,j) ∈ I² t.q i≠j, Xi ∩ Xj = ∅, alors on note

Int´ egration de Lebesgue La th´eorie de l’int´egration de Lebesgue est une nouvelle m´ethode d’int´egration. Elle se differencie de l’int´egration Riemann sur diff´rents points que nous pr´esenterons dans ce cours. C’est aussi devenu l’outil fondamental des probabilit´es et des statistiques modernes. L’int´egrale de Riemann se calcule ”par rapport `a dx”. Ce ”dx” est une notion de longueur, dans le sens o` u (pour a < b) b 1dx = b − a = longueur([a, b]). a L’int´egrale de Lebesgue se calcule par