Multiplication par un scalaire

pratique des e bases en dimension finie. Propri´t´ 1.3 Propri´t´ fondamentale : Soit B = {e1 , . . . , en } une e e e e base de E. Tout ´l´ment x de E s’´crit de fa¸on unique comme combinaison ee e c lin´aire des ei : e n x= i=1 λi e i . Les scalaires λi s’appellent coordonn´es de x dans la base B. e Proposition 1.2 Si E est un espace vectoriel de dimension finie n sur R et F un S.E.V. de E , alors F est de dimension finie et dim(F ) ≤ dim(E). Si de plus dim(F ) = dim(E), alors F = E. D´finition

et r2 , les solutions de (E) sont les fonctions e y : t → Aer1 t + Ber2 t , o` A et B sont des scalaires quelconques. En particulier, les solutions de l’´quation diff´rentielle u e e y − ω2 y = 0 sont de la forme y : t → Aeωt + Be−ωt . • Si (Ec ) poss`de une racine double r , les solutions de (E) sont les fonctions e y : t → Aert + Btert , • o` A et B sont des scalaires quelconques. u Lorsque a, b, c sont r´els et que (Ec ) poss`de deux racines complexes distinctes

un entier, noté 0, qui n’est le successeur d’aucun entier toute partie A de N contenant 0 et stable par successeur (s(A) ⊂ A) est égale à N À partir de ces axiomes, on peut définir naturellement une notion d’ordre sur N, une addition, une multiplication, et finalement retrouver l’ensemble des entiers naturels tel que nous nous le représentons. On peut ensuite démontrer des théorèmes. Quelques exemples : Théorème 5.2.1. N est infini. Théorème 5.2.2. N est archimédien : ∀A ∈ N, ∀a ∈ N∗ , ∃n ∈

ième . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . 5.4 Fonctions exponentielles de base . . . . . . . . . . . 13 13 14 14 15 6 Les produits scalaires 6.1 Produits scalaires dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Produits scalaires dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 7 Représentation analytique d’une droite de l’espace 18 8 Les nombres

En particulier : b a f (x) dx |b − a| sup | f | . Analyse dans R • Inégalité de la moyenne : 41 13 Intégrales définies 3.6 Inégalité de Cauchy-Schwarz b a L'application : ( f,g) → f (x)g(x) dx définit un produit scalaire (cf. fiche 63) sur l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b]. En particulier, l'inégalité de Cauchy-Schwarz prend la forme : b a f (x)g(x) dx a b f 2 (x) dx × a b g 2 (x) dx . 3.7 Sommes de Riemann 1 n→∞ n lim

ensemble d'écarts finis (plus une condition de séparation). Les espaces uniformes comprennent notamment les groupes topologiques. Un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments, les vecteurs, peuvent s'additionner et être multipliés par des scalaires. Sur un corps donné, les espaces vectoriels se classifient par leur dimension, par définition le cardinal de n'importe quelle base. Un espace affine est de manière informelle un espace vectoriel pour lequel la position du vecteur nul a été oubliée

forme g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . e e e e Suppl´mentaires topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 58 61 64 67 67 67 69 71 74 75 77 79 81 85 85 88 91 91 94 96 98 100 102 102 104 7 Espaces de Hilbert 7.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Le cas r´el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.1.2 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.3 Espaces de Hilbert .

mot de poids minimum dans la classe de r modulo C et on r´ecup`ere bien le mot de code ´emis. Remarque 3. La matrice de contrˆ ole peut ˆetre vue comme la matrice g´en´eratrice du code dual C ⊥ = {y ∈ Fn2 , ∀c ∈ C, y.c = 0} o` u . est le produit scalaire usuel. Proposition 2.1. Soit H une matrice de contrˆ ole du code C. La distance minimum d de C est caract´eris´ee par les propri´et´es suivantes : – d − 1 colonnes de H sont toujours lin´eairement ind´ependantes. – Il y a un syst`eme de d colonnes

terminale . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Diviser pour régner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Premier exemple : multiplication naïve de matrices 3.3.3 Analyse des algorithmes « diviser pour régner » . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

marginales et conditionnelles. 3.4. Régression et corrélation. 3.4.1 Régression et corrélation. 3.4.2 Méthode des moindres carrés. 4. Régression orthogonale dans R². 4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux. 4.3.5