Nombre complexe

dérivable. On ne mentionne ici que les plus classiques. Variables multiples Arnaud Guyader - Rennes 2 4 Coordonnées polaires Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables Ce changement correspond à celui déjà rencontré au lycée pour les nombres complexes (figure 1.4) : passage de la décomposition (module/argument) à la décomposition (partie réelle/partie imaginaire). ϕ: {(0, 0)} ∪ Ê∗ × [0, 2π[→ Ê2 + (ρ, θ) → (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) Ceci définit exactement une bijection de l’ensemble de départ

  Café Jean : C’est un joli bistrot de standing pour vous offrir une cuisine Française exclusivement à base de produits frais.   Aux  saveurs  du  Paradoux  :   Ambiance   feutrée,   cadre   très   agréable   dans   une   pièce   laissant   paraitre  les  briques  roses  chères   à  Toulouse.  Cuisine  raffinée.   Les  jardins  de  l’Ambassade  :   Dans   un   cadre   du   XVIIIème   le   chef

du Calcium Dans un ballon jaugé de 100 ml, on dissout 800 mg d'un échantillon inconnu contenant du carbonate de calcium dans HCl 2 M et on porte à 100 ml avec de l'eau désionisée. On prélève 20 ml de cette solution. On ajoute de l'eau, 1 ml de complexe Mg-EDTA, 1 ml de NH3 et une pastille d'indicateur de noir d'ériochrome T. On titre par 9,67 ml de solution standardisée d’EDTA 0,12 M. Calculez le % en Ca dans l'échantillon. (M: Ca = 40) Réponse : 29 % en Ca http://www.md.ucl.ac.be/didac/cham/exer/farm12/intro1

l'ensemble, puis renvoie cet ensemble à Microsoft Office Excel. | NBENSCUBE | Renvoie le nombre d'éléments dans un ensemble. | VALEURCUBE | Renvoie une valeur agrégée d'un cube. | Fonctions Base de données Fonction | Description | BDMOYENNE | Renvoie la moyenne des entrées de base de données sélectionnées. | BDNB | Compte le nombre de cellules d'une base de données qui contiennent des nombres. | BDNBVAL | Compte les cellules non vierges d'une base de données. | BDLIRE | Extrait

suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b b ⋆ si pour tout x ∈ [a ; b] u(x) b a 0 b u(x) dx + a b v(x) dx a b αu(x) dx = α ⋆ u(x) dx a b [u(x) + v(x)] dx = ⋆ 0 alors a u(x) dx où α est un nombre réel. a Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b], f (x) g(x) alors : b b g(x) dx. f (x) dx a a Exercice no 5 Restitution organisée de connaissances (Nouvelle-Calédonie

Restitution organisée de connaissances 1. Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels. Soit z’ un nombre complexe tel que z’ = a’ + b’i où a’ et b’ sont deux nombres réels. z × z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + iab’ + iba’ – bb’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) Donc z × z’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) z × z’ = (a – ib)(a’ – ib’) = aa’ – iab’ – iba’ – bb’ = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) Donc pour tous nombres complexes z et z’, z × z’ = z × z’ . 2. Démontrons par

Représentation analytique d’une droite de l’espace 18 8 Les nombres complexes 8.1 Introduction aux nombres complexes . . . . . 8.2 Calculs avec les nombres complexes . . . . . . 8.3 Equation du second degré à coefficients réels 8.4 Module et argument d’un nombre complexe 8.5 Propriétés du module et des arguments . . . . 8.6 Lien avec le plan complexe . . . . . . . . . . . . 8.7 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Nombres complexes et transformations . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

Résidus 4.1 Résidus Définition 4.1.1 Soit f : C −→ C une fonction analytique au point z0 , et C = z ∈ C 0 < |z − z0 | < r (Disque troué). On appelle résidu de f au point z0 , le cœfficient a−1 du développement de Laurent de f au voisinage de z0 . Ce nombre est noté Res( f, z0) Remarque : Soit f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0 )n = · · · + a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · 2 (z − z0 ) (z − z0 ) le développement de Laurent de f au voisinage de z0 , comme ce développement

(1/i) (n - 1) / (n + 2 ) est un réel. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .  On pose z1 = 1 + i , z2 =  + i et Z = z13z2 1)a) Mettre z13 sous forme algébrique ( on pourra utiliser une identité remarquable ). b) Mettre Z sous forme algébrique. 2)a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z1 , puis le module et un argument du nombre complexe z13.  b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z2 . c) Déduire des questions précédentes un écriture