Nombre complexe

dans un ordre quelconque. Exercice On considère la suite numérique u(n) définie sur N par son origine u(0) = 1 et son terme général u(n+1) = au(n) + bn + c, où a, b et c sont des nombres réels, a  0. A partir de u(n) on définit la suite v(n) par : v(n) = u(n) + n + , pour n entier  0, ,  et  étant des nombres réels,   0. 1) Quelles conditions doivent vérifier les paramètres a, b, c, ,  et  pour que la suite v(n) soit une suite géométrique ? 2) On donne pour toute la suite de l’exercice

APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; u , v ) →→ 1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument. Propriétés → → Soit V et V ' deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' . Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ') alors : → → → → ( u , V )

d’inconnue complexe z. 1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est π égal à . 3 Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation z 2 = −2 + 2 i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique. 3. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x

Table des mati`eres 1 Nombres r´ eels et complexes 1.1 1 Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Axiome de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Les nombres naturels . . . . . .

compte dans l’évaluation de la copie du candidat. EXERCICE I 7 points 3 2 I - On considère l’équation (E) z − (4 + i)z + (7 + i)z − 4 = 0 où z désigne un nombre complexe. 1. a. Montrer que (E) admet une solution réelle, note z 1 . 0,75 pt b. Déterminer les deux nombres complexes a et b tel que, pour tout nombre complexe z on 0,75 pt ait : z 3 − (4 + i)z 2 + (7 + i)z − 4 = (z − z 1 ) (z 2 + az + b). 2. Résoudre dans C l’équation (E). 0,5 pt → − → − II - Dans le plan muni

La dérivée de la fonction f est la fonction f ' définie par f '(x) = page 2 sur 6 Exercice 2 (5 points) 1. On considère l'expression f(z) = z3 ‒ 6z2 + 12z ‒ 16 . a. b. Calculer f(4) . Déterminer les réels a , b et c tels que, pour tout nombre complexe z , f(z) = ( z ‒ 4 ) ( az2 + bz + c ) . c. 2. Résoudre dans  l’équation f(z) = 0 . → → → → Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) tel que || u || = || v || = 2 cm. Soient A , B et C les points d’affixes respectives

enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J , où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres µ et σ. Il apparaît que µ = 358 jours. J − 358 suit la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire σ la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1. 1. D’après le cours, la variable aléatoire X = 2. On sait que P (J J 385) = 0,975. 385 ⇐⇒ J − 358 27 ⇐⇒ J − 358 σ On cherche donc σ pour que P X duite. La calculatrice donne 27 σ 27 car σ est un nombre strictement positif. σ 0

n1 u  IV Complexes (partie 1) ROC 1 (vue au bac Métropole - Juin 2010 et Juin 2014 Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z  a  ib où a et b sont deux nombres réels. On note z , le nombre complexe défini par z  a  ib Questions 1) Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z  , z  z   z  z  2) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, z n  z n Solution 1) z  a  ib et z   a   ib  où a, b, a  et b  sont des nombres réels. D’une

bibliographiques ......................................................................... ’utilisation des nombres complexes (de la forme a + ib, avec a et b réels et i 2 = – 1, permet de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication

donc ˆtre contrˆl´ ` l’issue de plusieurs ´tapes. e oea e ` 1. A l’issue de chaque ´tape, combien peut-on former de groupes diff´rents de 5 coureurs ? e e 2. On consid`re l’algorithme ci-dessous dans lequel : e – « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier al´atoire appartenant ` l’intervalle [1 ; 50] e a – l’´criture « x := y » d´signe l’affectation d’une valeur y ` une variable x. e e a Variables Initialisation Traitement a, b, c, d, e sont des variables du type entier a := 0 ; b := 0 ; c :=