Nombre complexe

peut s’écrire après simplification : [pic] ; ce n’est pourtant pas une fonction polynôme car elle n’est pas définie sur [pic]. 2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme a. Définition On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0. Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pic] par : P(x) = (x – 1)(x+2) sont 1 et –2. Remarque : Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple [pic] qui est strictement

imaginaire : n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j=0 ( ) n− j 2. Le polynôme Pn est de degré n donc possède au plus n racines. Les réels kπ ,1 2n + 1 k n, sont éléments de ]0, π kπ [, donc sin ≠ 0 et les nombres αk sont bien définis. 2n + 1 2 π [. Il en va donc de même de la 2 D'autre part, la fonction cotan est continue, décroissante et positive sur ]0, fonction cotan qui induit une bijection de ]0, Donc les réels αk sont distincts. D'après la question

donc f(x) = a x + b  - b - 4ac 2a 4a2   http://xmaths.free.fr 1ère S − Trinôme du second degré page 2 / 7 Définition On considère le trinôme f(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0 . On appelle discriminant du trinôme et on note ∆ le nombre réel ∆ = b2 - 4ac. Remarques 2 f(x) = a x + b  - ∆  est appelée forme canonique du trinôme. 2a 4a2  • L'expression de la forme canonique n'a pas a être mémorisée, mais il faut savoir la retrouver sur des exemples. • Il faut impérativement

fonction définie sur R par h(x) = g(x) e – a x. Montrer que h est une fonction constante. c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’ = ay. 2) On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x. a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 (x) = a cos x + b sin x soit une solution f 0 de (E). b) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y’ = 2y. c) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f

notation et les remarques du correcteur. Centrale-Supelec-2005-MP-mathématiques 1 1 Problème. On dira qu'une fonction dénie de R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions

) qui vérifie : et . 3-Montrer que, pour tout réel x, . 4-Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle . Exercice2 : Le nombre est le complexe de module 1 et d’argument . 1.a) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : . b) Déterminer pour chaque solution le module et un argument. 2. Le plan complexe (P) est muni d’un repère orthonormal (O ; ; ) (unité graphique :2 cm). a) dans le plan ( P ) les points A, B, C d’affixes respectives ; ;

d’angles particuliers, - dérivabilité d’une fonction, - équation de tangente à une courbe, - variations d’une suite, - convergence d’une suite, - formule d’intégration par parties, - primitives et dérivées usuelles, - lois de probabilités, - écriture complexe d’une transformation, - traductions géométriques d’un module ou d’un argument, - équations d’un plan dans l’espace, etc. Ces questions supplémentaires (en plus de vos exercices) seront pour le correcteur l’occasion « d’ajuster » votre note ! A

Table des matières Partie 1 – Analyse dans R 1 2 3 4 5 6 7 8 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités 1re année Formules de Taylor 1re année Limites : comparaisons locales 1re année Développements limités 48 1re année 13 16 18 Approximation 1re année 52

Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : 9 (x) = 1(x). EXERCICE 2 (6 points) Le plan est muni d'un repère orthononnal (0; , ït). On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument 7r . 2 L Résoudre da~s l'ensemble C des complexes l'équation: (z - 2)(Z2 - 2z 2. On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives: ZA 2; ZB = 1 + iJ3; ze = ZB; ZD = 2e2i~ ; ZE = 2ie-i~. a) Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes b) Donner le module et

Correction du devoir surveillé TS1 et TS3 Exercice 1 Partie A On considère la fonction f, qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe f ( z ) iz 2 2 i 1. Ecrire sous forme algébrique 1 i 2 i (2 i)(1 i) 3 1 i 1 i 2 2 2 2 i 3 1 Conclusion :la forme algébrique de est i 1 i 2 2 2 i 2. Calculer f 1 i 3 2 i f =i 2 1 i 1 i 2 2 z 2 3 2 1 i 2 2 i 9 4 6 1 i 4 4 3 2 1 3 i 2 i 2 i 2 2 3 2 1 i 2 2 5 5 i 2 Conclusion : f 2 i 5 5 i 1 i 2 3. Montrer que