Nombre complexe

SESSION 2003 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION

polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique. Correction Vidéo Exercice 8 Soient x et y réels avec 0 < x < y. 1. Montrer que x< 2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par α → f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y. De l’étude

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

x)2 m=1 n=1 N X n=N +1 +1 X ((n 1 N ) + (x + N ))2 N 8x 2 D , U (x) = UN (x) + U (x + N ) 2. Si x 2] N 1; N [ , x + N 2] 1; 0[ et donc x ! U (x + N ) est C 1 sur ] N 1; N [ , par composition de fonction C 1 :UN est une somme d’ nombre …ni de fonctions C 1 sur ] N 1; N [ , donc est C 1 sur ce domaine. un Donc par somme de fonctions C 1 , U 2 C 1 (] N 1; N [; R) . Comme D = ([N 2N ] N 1; N [) [] 1; +1[ , U est C 1 sur D. 3. D’ après le théorème de dérivation termes à termes du I

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

Définitions, développement de Taylor et erreur de troncature 1. À L’aide d’une méthode numérique, on a évalué la dérivée d’une fonction pour deux valeurs de h : h 0,1 0,05 f (x0 ) erreur absolue 25,312 100 0,000 400 25,312 475 0,000 025 (a) Donner le nombre de chiffres significatifs de chaque approximation. (b) Quel est l’ordre de précision de la méthode de différentiation numérique utilisée? Référence : A. Fortin, chap. 1, no. 25 [Indice] [Solution] [TdM ] 2. Dire si l’énoncé suivant est vrai ou faux et

fonction de , et de . Exercice 33. ( ) ( ) ) ( ) ( ) 1. Calculer le produit des matrices ( ) et ( ), où et sont deux réels quelconques. 2. Montrer que ( ) est inversible, et déterminer ( ). Allez à : Correction exercice 33 A tout nombre réel on associe la matrice : ( ) ( Exercice 34. ) ( Soit une application de dans définie par : ( ) et ( ) la base canonique de . 1. Montrer que est un endomorphisme de . 2. Déterminer la matrice de dans la base . 3. a) Déterminer

unitaire i . C. Mesure algébrique2 Considérons un point M appartenant   à   l’axe   normé   ( Ox ). Le vecteur OM est colinéaire au vecteur i (ils sont portés par la même droite), nous pouvons donc écrire : OM = x i Dans cette égalité, x est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul. 1 Voir la première annexe sur les unités « Unités en Optique géométrique et un peu plus ». 2 En Mathématique, on définit la mesure algébrique. En Physique le mesurage  est  l’action de mesurer. Le résultat

Graphique : Feuille 1 IV. Opérations sur les fonctions et sens de variation 1) Fonctions u+k et λu Propriété : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel. Alors les fonctions u et u+k ont le même sens de variation sur I. Démonstration : Propriété : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un nombre réel. • λ > 0, alors les fonctions u et λ u ont le même sens de variation sur I. • λ < 0, alors les fonctions u et λ u ont des sens de variation contraires sur I. Démonstration

février 2011 2 Table des matières I I Le plan complexe et les nombres complexes L’ensemble A B C II A B C III 7 8 8 9 9 C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition et multiplication des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .