PGCD de nombres entiers

Or 7 est un nombre premier qui ne divise pas 55 , alors, d’après le petit théorème de Fermat, 55 ( ) 3 7 −1 ≡ 1 [ 7] . On en déduit que 55 Par conséquent, 5750 − 1 = 55 ( ) ( ) 3 7 −1 −1≡ 0 [7] . 3 7 −1 − 1 est divisible par 7. La proposition 3 est donc vraie. Petit théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1 [ p ] . 4) Cherchons le PGCD de 4n + 3 et 3n + 1 : PGCD ( 4n + 3 , 3n + 4 ) = PGCD ( 4n + 3 − 3n

d’un entier lorsque c’est possible). 4 4 7 4 ◮4. D = − 18 6 1 10 + 8 5 9 2 ◮2. B = − 7 10 ◮3. C = 7, 2 − ◮1. A = 3 +8 10 5 4 ◮6. F = + 7 2 7 1 − 2 2 3 ◮8. H = 1 − 5 ◮5. E = ◮7. G = Exercice 2 Compléter par le nombre qui convient : ◮1. 302,8 = 3,028× . . . . . . . . . . ◮3. 3,004× . . . . . = 30 040 000 ◮5. 6 050 000 = 6,05×. . . . . . . . ◮2. 601 100 = 6,011× . . . . . . . . ◮4. 6 308 000 = 6,308× . . . . . . ◮6. 5,018× . . . . . . . . = 0,501 8 Exercice 3 Compléter par le nombre qui

Crible G´en´eralis´e sur le Corps de Nombres Khalid HAZAM hazam.khalid@gmail.com Projet de Cryptographie Ing´enierie Math´ematique Informatique Appliqu´ee a` l’Economie Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Encadr´e par: Pr. O. Khadir 20 mai 2011 Avant de commencer, je tiens ` a remercier Pr. O. Khadir de m’avoir donn´e l’opportunit´e de travailler sur un sujet aussi riche, et en mˆeme temps d’avoir ´et´e extrˆemement patient avec moi, me permettant ainsi de mener ` a bien

3) = III. Démontrer que pour tout nombre x : (x + 1)²– (x – 1)² = 4x Quelle égalité obtient-on si l’on remplace x par 20 ?. En déduire 21² – 19² IV. Les nombres 1743 et 456 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. V. a) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. b) Ecrire sous la forme irréductible la fraction 135 (on indiquera le détail des calculs). 210 c) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée

+) et (Q , ×) sont-ils isomorphes ? Exercice 18 Centrale MP [ 02363 ] [correction] Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n ? Exercice 19 Centrale MP Montrer que [ 02366 ] [correction] √ x + y 3/x ∈ N, y ∈ Z, x2 − 3y 2 = 1 est un sous-groupe de (R+ , ×). Exercice 20 Centrale MP [ 02368 ] [correction] Soit n un entier naturel non nul, (e1 , . . . , en ) la base canonique de E = Rn . Soit Sn l’ensemble des permutations de {1,

francophones qui héberge un site miroir du précédent et qui recommande le package pédagogique ( http://rmdiscala.developpez.com/cours/ ) à ses visiteurs débutants.  Cette édition a été corrigée duran tles 2 mois l’été 2004, elle a été optimisée en nombre de pages papier imprimables. Remerciements : (anticipés) Aux lecteurs qui trouveront nécessairement des erreurs, des oublis, et autres imperfections et qui voudront bien les signaler à l’auteur afin d’améliorer le cours, e-mail : discala@univ-tours

N'oubliez pas d'exécuter (valider avec la touche Entrée) les commandes Maple (texte en rouge) avant de les utiliser. Les exercices en petits caractères sont facultatifs. Calcul des coefficients de Bézout On peut modifier les fonctions de calcul de pgcd précédemment programmées : Commençons par la version itérative > BezoutIter:=proc(a0,b0) local q,r,a,b,u0,v0,u1,v1,u,v; a:=a0;b:=b0;u0:=1;v0:=0;u1:=0;v1:=1; while b0 do q:=iquo(a,b);r:=irem(a,b); u:=u0-q*u1;v:=v0-q*v1; a:=b;b:=r;u0:=u1;v0:=v1;u1:=u;v1:=v

21 720=72×10 10 et 21 n'ont pas de diviseurs communs puisque 21 est divisible par 3 et 7 et que ces deux entiers ne divisent pas 10. 3) Paul a une cour rectangulaire de 7,20 m de largeur et de 15,12 m de long qu'il désire carreler avec des dalles carrées dont le côté est un nombre entier de centimètres. Il veut le moins de carreaux possibles pour recouvrir le sol. Je cherchele nombre de dalles carrées nécessaires. J'écris toute ma démarche. Remarque: cette question fait suite aux deux précédentes

1. Étudier la monotonie de la suite (un). 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2. b) Quelle est la limite de la suite (un) ? Conjecturer une expression de un, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée. EXERCICE 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans l’ensemble [pic] des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument [pic]. 1. Montrer que (1 + i)6 = -8i. 2. On considère

quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera