Plus grand commun diviseur

L. P. Kairouan Le : 18 –01 – 13 Devoir de contrôle N°3 Durée : 1heure Prof: Chouihi Classe: 2SC3+4 Exercice N°1 10 points : 2 + 2 + 4 + 2 1°/ Compléter par: « est divisible » ou « n'est pas divisible » a) 5428720147256 ………………………………………….par 3 b) 9012582568748 ……………………………………….par 8 c) 5851472024601……………………………………… .par 25 d) 8521404125417 ………………………………… …par 11 2°/ L’égalité a = bq + r avec 0 ≤ r  b désigne la division euclidienne de a par b, compléter le tableau suivant : a 327

soient utilisées. a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser (Justifier votre réponse)? b. Combien y aura-t - il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? EX5 : 2 points a) déterminer tous les diviseurs communs au deux nombres puis indiquer le PGCD 54 et 78 b) Indiquer dans chacun des cas si les nombres sont premiers entre eux ? 1429 et 976 Ex 6 3 points RST est un triangle rectangle en R. On connaît RS = 5 cm et ST = 8cm. a)Ecrire les

2) a) Comme le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension, il faut que la longueur (en cm) du côté de chaque dalle soit un diviseur de 620 et 520 (dimensions en cm). Comme le PGCD de 640 et 520 est 40, 40 est donc un diviseur de 620 et 520. Comme 40 = 2 × 20, alors 20 est aussi un diviseur de 620 et 520 Ainsi les dalles qui conviennent sont celles dont le côté mesure 20 cm ou 40 cm. b) Pour les dalles dont le côté mesure 20 cm : Il faut donc 32 dalles en

condition2 else …. fi (fin du if) si condition1 alors (pour valeur vraie)…., sinon si condition2…. alors …. Itérations while condition do …. od; (od: pour terminer le do) (Le calcul contenu dans la boucle se fait jusqu'à ce que la condition ne soit plus vérifiée. For k from 1 to 10 do … od; Exemple: S:= NULL (suite vide); For k from 1 to 10, S := S , k; Procédure reso:= proc(a,b,c) local k,l; …. end; RETURN: à l'intérieur d'une procédure, entraîne l'arrêt immédiat de la procédure. VII.Programmation

paragraphe les fonctions permettant de résoudre les équations et les systèmes d’équations. Il est possible d’entrer certaines fonctions ou certaines expressions à partir de modèles (/r) comme nous allons le voir pour les systèmes d’équations, mais également plus loin pour les intégrales, les dérivées, les matrices… Résolution d’une équation - dans le corps des réels - dans le corps des complexes solve(eq, var) var) Touches b31 Touches b3A1 cSolve(eq, La fonction solve retourne un résultat sous

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

de deux nombres premiers entre eux est : « Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux ; leur seul diviseur commun est donc 1. » 2. 1, 6 et 39 ne sont pas des nombres premiers car 1 n'est pas leur seul diviseur commun. 3. voir tableur 4. Exercice 4 pages 9 et 10 : a) liste des diviseurs de 45 et de 81 : D45= {45 ; 1 ; 3 ; 15 ; 5 ; 9} D81= {81 ; 1 ; 3 ; 27 ; 9}. Le PGCD de 45 et de 81 est 9. b) 1) 936-624=312 624-312=312

a un entier naturel. Deux cas sont possibles. > a est premier avec p : alors d’après le 1, a p −1 ≡ 1 ( p ) et, soit en multipliant chaque terme par a, a p ≡ a ( p ) . > a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver

division euclidienne de 2009 par 11 est 7. (b) deux solutions sont possibles : Première solution : 2 4 = 16 donc 2 4 º 5 (11) donc (2 4 ) 2 º 5 2 (11) soit 2 8 º 3 (11) 2 10 = 2 8 ´ 2 2 donc 2 10 º 3 ´ 4 (11) soit 2 10 º 1 (11) Autre solution plus courte ; Petit théorème de Fermat : Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p – 1 º 1 [p] 11 est un nombre premier et 11 ne divise pas 2 donc d'après le petit théorème de Fermat : 2 11 – 1 º 1 [11] (c) Déterminer

TS MATHPH QÇ. : 1) Donner les définitions suivantes a) Dans N, b est un diviseur de MATHEMATIOUES : DSl (SPE) Le 15110/2tl} b) pgcd(a ;b) 2) Enoncer le théorème de la division euclidienne puis le démonher (si possible) 3) Enoncer le théorème de Bezout, puis le théorème de GAUSS et le démontrer . a; : . Exercice 1 :1o)Ondonneledéveloppement (a+b)s Une expression développée de (n + naturel =et +5aob+1\a3b2 +lAazb3 +Saba +às endéduire l)t, puis démontrer par récurrence