Plus grand commun diviseur

sous groupe de G ssi KH = KH. 2 Groupe engendré • Soit A une partie d’un groupe G, l’intersection de tous les sous groupes de G contenant A est un sous groupe de G, appelé le sous groupe de G engendré par A et noté 〈A〉, c’est d’ailleurs le plus petit sous groupe de G contenant A. Réciproquement si H est un sous groupe de G, et s’il existe une partie A ⊂ G, telle que H = 〈A〉, alors A s’appelle : partie génératrice de H. 2. On suppose que G est fini, que HK est un sous groupe de G. card(H)

−1 k p p −1 ∈ℕ Le théorème de Gauss affirme alors que p divise . Ne pas oublier que k k −1 {                 Mais il faut bien remarquer que si k = 0 alors on a propriété précédente n'est plus valable.   p p p p p = = 1 mais aussi que si k = p alors on a = = 1 et que dans ces cas la k 0 k p   2) Déduisons en que si a et b sont deux entiers alors on a  a  b  p ≡a p  b p [ p ] La formule du binôme de Newton donne 

n'énonçait pas son 5ème postulat sous cette forme, mais sous la forme équivalente mais moins intuitive suivante : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits

polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dans C. Théorème de Gauss. Soient A, B et C trois polynômes

nombre pair vérifie x2 = 0 (mod 8) ou x2 = 4 (mod 8). 3. Soient a, b, c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a2 +b2 +c2 et celui de 2(ab+bc+ca). 4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab + bc + ca non plus. Indication Correction Vidéo [000285] 1 2 pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide Exercice 7 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1. 126, 230. 2. 390, 720, 450. 3. 180, 606, 750. Correction Vidéo [000290] Exercice 8

(zn )| < 1 pour n assez grand.. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Corrections Un complexe z est racine du polynôme P + P¯ si, et seulement si, Exercice 7 : [énoncé] Soit ω = e2iπ/(n+1) une racine nème de l’unité. On a n k=1 (z − zk ) k=1 Si Imz > 0 alors n n+1 0 ωk = k=0 si = 0 sinon On en déduit (n + 1) |a0 | (n + 1)M puis |a0 | De façon plus générale, on a [n + 1]

simple nombre `a 20 chiffres. En 1980, grˆ ace ` a l’impl´ementation de l’algorithme de factorisation par fraction continue (CFRAC) par BrillhartMorrison, des nombres ` a 50 chiffres ont pu ˆetre factoris´es. Les ann´ees 1990 ont vu un bond beaucoup plus important avec le Crible Quadratique (QS) de Carl Pomerance : Le fameux RSA-129 d´ecrit par le Scientific American comme sˆ ure pour des milliards d’ann´ees `a succomb´e en 1994. Un record ´eclips´e par John Pollard en 1996 et son Crible sur le

entre le jeu de carte et la divisionL’activité jeu de carte montre que …………………………………………………………………………………………………………………….Effectue les divisions écrites suivantes afin de recherche le quotient entier et le reste. Ensuite, entoure le dividende en rouge, le diviseur en vert, le quotient en bleu et le reste en noir.142 9Cette division a un reste ……………………….………Elle est appelée ……………………………………………..ou encore ………………………………………………………De cette division naît l’égalité :……………………………………………………………………..En français :

ci-dessous. Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées. 1. Affirmation 1 : Les diviseurs communs à 12 et 18 sont les mêmes que les diviseurs de 6. 2. Affirmation 2 : 4 n’admet que deux diviseurs. 3. Affirmation 3 : Deux nombres impairs n’ont que 1 comme diviseur commun. 4. Affirmation 4 : Tous les nombres premiers sont impairs. 5. Affirmation 5 : Tous les nombres impairs sont premiers. Exercice 2. Multiple de 10 : D’après

........................................................ 9 Numération égyptienne et romaine Bases Exercices d’apprentissage Chapitre 2 > Diviseurs et multiples A B A ................................................................................................................... 21 Divisibilité Nombres premiers, recherche de diviseurs Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 > Résumé ..............................................................................................