Plus grand commun diviseur

unitaire de cet idéal. On note πu ce polynôme. On a donc : Dénition 17.1 On appelle idéal annulateur de u l'idéal Iu et polynôme minimal de u le Iu = {P ∈ K [X] | P (u) = 0} = K [X] πu A ∈ Mn (K) . et πu est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant u. Ce polynôme πu est non constant. On dénit de manière analogue l'idéal annulateur et le polynôme minimal d'une matrice On vérie facilement que si u a pour matrice A dans une base B de E, alors A et u ont même idéal annulateur

Fiche de révisions Page 1/ 6 Troisième Exercice 1 Calculer en détaillant les étapes. Donner le résultat sous la forme d’une fraction la plus simple possible (ou d’un entier lorsque c’est possible). 4 4 7 4 ◮4. D = − 18 6 1 10 + 8 5 9 2 ◮2. B = − 7 10 ◮3. C = 7, 2 − ◮1. A = 3 +8 10 5 4 ◮6. F = + 7 2 7 1 − 2 2 3 ◮8. H = 1 − 5 ◮5. E = ◮7. G = Exercice 2 Compléter par le nombre qui convient : ◮1. 302,8 = 3,028× . . . . . . . . . . ◮3. 3,004× . . . . . = 30 040 000 ◮5. 6 050 000 = 6,05×.

verbes de consignes Dans les exercices de Mathématiques, on utilise de nombreux verbes que tous les élèves ne comprennent pas toujours au mieux. Voici ceux qui posent le plus de problème (tu en trouveras d’autres à la page 9 de ton livre). Comparer deux nombres : déterminer lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux (on utilise alors les signes et = ) Déduire (en) : répondre à une question en utilisant certaines réponses des questions précédentes Démontrer

à un calcul.” • Un peu plus précisement : Une séquence de pas de calcul qui prend un ensemble de valeurs comme entrée (input) et produit un ensemble de valeurs comme sortie (output). • Un algorithme résout toujours un problème de calcul. L’énoncé du problème spécifie la relation input / output souhaitée. Notion d’algorithme 4 Exemples : 1. Multiplication Input : deux entiers a et b Output : leur produit ab Algorithme : celui de l’école 2. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Input : deux entiers

1, bk = 0 ∀k ≥ m + 1. K[X] est stable pour ces lois, on dit que c’est une algèbre (et on peut vérifier aussi qu’elle est commutative). 1 1 . POLYNOMES Degré d’un polynôme Définition 1.3. Soit P un polynôme non nul, on appelle degré de P , le plus grand indice de ses coefficients non nuls, et on le note deg P . Ainsi deg P = n ⇐⇒ P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec an = 0, an s’appelle coefficient dominant de P . Par convention deg 0 = −∞. Remarque 1.4. P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ⇐⇒

= 0 ∀k ≥ m + 1. K[X] est stable pour ces lois, on dit que c’est une algèbre (et on peut vérifier aussi qu’elle est commutative). 1 1 . POLYNOMES Degré d’un polynôme Définition 1.3. Soit P un polynôme non nul, on appelle degré de P , le plus grand indice de ses coefficients non nuls, et on le note deg P . Ainsi deg P = n ⇐⇒ P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n avec an = 0, an s’appelle coefficient dominant de P . Par convention deg 0 = −∞. Remarque 1.4. P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ⇐⇒

(x) = e o e e ap xp = a0 + a1 x + · · · + an xn . Formellement, un polynˆme peut toujours ˆtre repr´sent´ par la suite finie (a0 ,a1 , . . . ,an ) de o e e e i. ses coefficients, ai ´tant le facteur de x e D´finition 1.1.2 Le degr´ de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). Le degr´ du e e e polynˆme nul est −∞ par convention. o D´signons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = C ou IR) l’ensemble des polynˆmes ` coefficients e l o a dans IK. 1.1.1.1 Addition de polynˆmes o Soient P,Q ∈ IK[x]

CLM sont identiques et rectangles. Aire de IJKLMNOP = Aire de ABCD – 4 x Aire JBK = AB² Aire de IJKLMNOP = 63 cm² 3. b. aire du disque de diamètre 9 = > 63 cm². Donc , l’aire de l’octogone est plus petite que celle du disque. Ex 2 : 2. Dans le triangle ABC, [BC] est le côté le plus long, D’une part BC² = 5,2² =27,04 D’autre part AB² + AC² = 2² + 4,8² =4 + 23,04 = 27,04 On constate que BC² = AC² + AB², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore ABC, Triangle rectangle en A

redémontrer la formule du binôme Exercices supplémentaires 11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par s’interresser au degré des éventuelles solutions . 12. Soit P = ( ak )k∈N un polynôme non nul. On nomme valuation de P et on note val ( P) le plus petit entier tel que ak = 0. (a) Que va-t-on choisir comme valuation du polynôme nul ? (b) Montrer que val ( P + Q) min(val ( P), val ( Q)). Donner un cas d’égalité. (c) Montrer que val ( PQ) = val ( P) + val ( Q) 13. Effectuer la division euclidienne

Lycée S.Menzel Hayet 1ere année 06/03/ 2012  Exercice 1 : Devoir de Synthèse n°2 Durée 3heures Afli Ahmed Enseignant: Mr Afli Ahmed 4sc. I Pour chacune des questions suivantes une seule est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro da la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. 1.) Soit n un entier naturel non nul tel que : ������������ ∧ (������������ × ������������ × ������) = 35 alors : a ������ ≡ ������[������] b ������ ≡ ������[������] c ������