Plus grand commun diviseur

Algorithmes A. Etude générale d’algorithmes : Donner une valeur de A Exercice 3043 Le diagramme ci-dessous représente l’algorithme d’Euclide déterminant le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers : Affecter ` a X la valeur A × 2 − 5 A et B A deux nombres Afficher la valeur de X + A Compléter le tableau ci-dessous : On effectue la division euclidienne de A par B B Valeur de A 0 3 −4 5 2 12 Valeur affichée •A prend pour valeur B D1 •B prend pour valeur r On considère l’algorithme

règles opératoires (*, +). Il avait ainsi définit la notion d’algorithme. Cependant la notion date de la Grèce antique (premier algorithme est la division Euclidienne découverte par Euclide en –300 avant JC. Elle permet de déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux entiers). Une définition reconnue : une suite finie d’instructions décrivant un traitement sur un nombre fini de données structurées qui se terminent par un nombre fini d’opérations en vu de l’obtention d’un résultat. Exemple

Exercice n°3 : © 1) Résoudre dans ¢ ² l’équation ( E ) : 3x – 2y = 1. 2) Soit n un entier naturel non nul. (a) Montrer que le couple (14n + 3, 21n + 4) est une solution de ( E ). (b) En déduire que pgcd (14n + 3, 21n + 4) = 1. 3) Soit d le plus grand commun diviseur de 2n + 1 et 21n + 4. (a) Montrer que d = 1 ou d = 13. (b) Montrer que n º 6 (mod 13) Û d = 13. 4) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : A = 21n² - 17n – 4 et B = 28n3 – 8n² - 17n – 3. (a) Montrer que A et B sont divisibles

est croissante et majorée par M alors L < M - On dit que deux suites sont adjacentes ssi un est croissante et vn décroissante un < vn pour tout n limite de un – vn = 0 en + 8 - Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers L. - De plus, si un < vn pour tout n alors un < L < vn - Une suite est divergente ssi tout intervalle de la forme ] a, + 8[ contient aussi tous les un à partir d’un certain rang. - Soit un et vn tels que un < vn à partir d’un certain rang, alors si la limite

générale des solutions et résout les trente équations en une seule nuit ! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines

d'instructions suivante : 1. Faites chauer de l'eau dans une casserole 2. Une fois que l'eau boue, placez les p^ates dans l'eau 3. Attendez dix minutes 4. Versez le tout dans un ecumoire 5. Vos p^ates sont pr^etes. Vous l'aurez devine, il s'agit des grandes lignes de la recette permettant de preparer des p^ates (si vous les voulez al dente, attendez un petit peu moins de 10 minutes). Cette recette ne vous expose pas le detail des reactions chimiques qui font que les p^ates cuisent en dix minutes

–3, …. Cet ensemble se note Z. Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} et Z* = {…, –3, –2, –1, 1, 2, 3, …} Divisibilité dans N * Un nombre entier n est divisible par l'entier d non nul s'il existe un entier q tel que n = d q. On dit alors que d est un diviseur de n ou encore que n est un multiple de d. Quelques critères de divisibilité Dans le système décimal de numération le nombre entier n est divisible par • 2 s'il est terminé par 0, 2, 4, 6 ou 8 et dans ce cas ce nombre est dit pair (antonyme impair)

SESSION 2001 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´ ` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ´ MATHEMATIQUES 2 ´ Duree : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈

© Complétude 2012/2013 Chapitre I : CALCUL ALGEBRIQUE (RAPPELS) I. RAPPELS SUR LES FRACTIONS 1° Addition de fractions Pour additionner deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur. Pour cela, on cherche le plus petit commun multiple des deux dénominateurs. Puis, on ajoute les numérateurs entre eux : a b c a +b-c + − = d d d d EXEMPLE 5 7 5 × 3 7 × 2 15 14 29 + = + = + = 6 9 6 × 3 9 × 2 18 18 18 Remarque : vérifier que le résultat est une fraction

retrouverez d’ailleurs dans le manuel notre volonté de varier au maximum les situations problèmes au sein de chaque chapitre, afin de réinvestir les différents thèmes. Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus diversifiés possibles : • des activités utilisant l’outil informatique ou la calculatrice ; • des activités qui mettent en œuvre une démarche algorithmique ; • les problèmes ouverts qui exigent davantage d’initiative de la part des élèves. Certains