Plus grand commun diviseur

[pic] 3) [pic] [pic] Avec l’algorithme d’EUCLIDE, on trouve que le PGCD de 153 et 279 vaut 9, donc les deux nombres ne sont pas premiers entre eux. [pic] On cherche un diviseur commun à 92 et 138 pour faire des lots. De plus, comme on cherche un nombre maximal de lots, il faut calculer le plus grand diviseur à 92 et138. Avec l’algorithme d’EUCLIDE, on trouve que le PGCD de 92 et 138 vaut 46 donc l’apiculteur pourra faire 46 lots avec tous ses pots. 2) 92(46 = 2 et 138 ( 46 = 3. Dans

représentant chacun un chiffre. Exmple : Entrée : 10 2 1                9 Sortie : 1 0 0 1 Exercice 6 Ecrire une fonction qui renvoie PGCD(a,b) en utilsant l'algorithme d'Euclide (méthode par division). Commentaire • PGCD : Plus Grand Diviseur Commun • Algorithme d'Euclide (Division) : PGCD (a,b) = PGCD (b,r) avec r = a mod b On répétera ceci jusqu'à ce que b = 0, dans ce cas le PGCD est égal à a Exemple : • Entrée : a=18, b=24 • Sortie : PGCD(18,24)=6

continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire possible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees lorsqu’elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture

PGCD : plus grand diviseur commun. Pour trouver le PGCD de deux nombres on utilise les soustractions successives ou l'algorithme des divisions successives d'euclide : Dividende | Diviseur | Reste | 182 117 65 52 | 117 65 52 13 | 65 52 13 0 | Le PGCD est le dernier reste avant 0 : PGCD (182;17)=13 Les nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1, il ont un seul diviseur commun:1 *une fraction irreductible est une fraction que l'on ne peut plus simplifier

mDurée : 4 heures Baccalauréat S La Réunion juin 2005 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. a. b. 2n = en ln 2−2005ln n a pour limite +∞ : elle diverge. n 2005 n 2n + (−1)n n 2 + (−1) = 1 n +1 1+ n n n 4 points → 2 : elle converge. c. n sin 1 1 sin n = 1 → 1 : elle converge. n n 1 2 n 1 2 ln n d. 2. a. n = ln n n→+∞ = 1 2 n ln n → +∞ : elle diverge. lim (v n ) = 0. On ne peut pas savoir : faux vn 1. Pas forcément : faux b. La suite (un ) est minorée

successives : c’est donc le reste obtenu à l’étape 2. D’où PGCD(6209 ;4435)=887 2. La fraction n’est pas une fraction irréductible car le PGCD de 6209 et de 4435 est différent de 1, c'est-à-dire que ces deux nombres admettent un diviseur commun strictement plus grand que 1 : on peut donc la simplifier. 3. Pour simplifier la fraction , on divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur PGCD. Il est possible de simplifier cette fraction en utilisant la touche a qui permet d’écrire

entiers: Pour additionner deux entiers de même signe, On additionne les valeurs absolues des deux nombres; On donne au résultat le signe commun aux deux nombres Pour additionner deux entiers de signes contraires, On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande On donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue Règle de multiplication Pour multiplier deux entiers, On multiplie les valeurs absolues; On détermine le signe du produit

fortement recommandé de lire ce chapitre avant d'aborder le cours. Les chapitres ou paragraphes dont les intitulés sont suivis du signe ( ) sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

seulement le reste d'une division, et ainsi nous nous intéressons uniquement au reste de la division: f(n)= modulo(29n + 1, 26). → modulo( (3+26)n + 1, 26). → modulo(3n + 1, 26). En éléminant le 26 on ne modifie pas le reste car dans ce cas le diviseur est 26, et ainsi on se retrouve avec la même fonction g. 3- D'après la question précédente, on peut généraliser ce qui précède avec les fonctions suivantes en disant que: h(n)= modulo (an + b, 26) = j(n)= modulo((a+26)n + b, 26). 4-

perspective historique de ces domaines. La cryptologie a une longue histoire derri`ere elle, remontant `a l’antiquit´e, et riche en enseignements sur les principes de mise en oeuvre des m´ethodes modernes. La correction d’erreurs s’est d´evelopp´ee plus r´ecemment, accompagnant les progr`es de l’informatique et des t´el´ecommunications. On y verra les rˆ oles jou´es par des personnages c´el`ebres de l’histoire des sciences comme Charles Babbage, Alan Turing, Claude Shannon. Dans la mesure du possible