Polynôme de Bernstein

[correction] On note R(N) l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que R(N) est un sous-espace vectoriel de ∞ (R). b) Est-il ouvert ? c) Est-il fermé ? Exercice 8 [ 01111 ] [correction] Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples est une partie ouverte de Rn [X]. Exercice 9 [ 01112 ] [correction] Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème

Cp = Cp + Cp−1 . n−1 n−1 n−1 n n n n k=0 n Un ensemble non vide E est dénombrable si, et seulement si, il existe s : N → E surjective. Curiosités – Le nombre de surjections de En sur Ep est (−1)p p (−1)k Ck k n . p k=0 – Le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder : soient E et F deux ensembles. S’il existe deux fonctions injectives f : E → F et g : F → E, alors E et F sont équipotents. – La notion de monoïdes isomorphes n’est pas une relation d’équivalence car l’ensemble des monoïdes n’existe pas

vecteurs et processus gaussiens . . . . . 6.1.3 Regression a¢ne dans L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 La notion d’innovation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Polynômes d’opérateurs retard L et avance F . . . . . . . . . 6.2.1 Rappels sur les opérateurs retards . . . . . . . . . . . 6.2.2 Inversibilité des polynômes P (L) . . . . . . . . . . . . 6.3 Compléments sur les séries stationnaires : les autocorrélations 6.3.1 Autocovariance et autocorrélation . . . . . . . . . . . 6.3.2 Autocorrélations

(x) pour 0 x a1 et a, b > 1, alors lim f (x) = f (0). x→0+ I.1.6. Calculer (a) (b) I.1.7. Calculer positifs. 2 lim x→0 lim x→0+ x2 1 + 2 + 3 + . . . + x lim [P (x)] , x→+∞ P ([x]) 1 |x| 2 k 1 + + ... + x x x , , k ∈ N∗ . où P est un polynôme à coefficients strictement Énoncés I.1.8. Montrer sur un exemple que la condition lim (f (x) + f (2x)) = 0 (∗) x→0 n’implique pas que f admet une limite en 0. Prouver que s’il existe une fonction ϕ telle que, dans un voisinage épointé de 0, l’inégalité

faciliter la compréhension d’un concept en l’illustrant graphiquement et numériquement, sans être limité par d’éventuelles difficultés techniques. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions affines. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e. Fonction racine carrée. Fonctions sinus et cosinus. • Représenter une fonction de référence et exploiter cette courbe pour retrouver des propriétés de la fonction. En fonction

+\infty}\varphi(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\varphi(x)=0 ; la densité \scriptstyle \varphi est infiniment dérivable, un raisonnement par récurrence permet d'obtenir la formule15 : \scriptstyle \varphi^{(n)}(x)=(-1)^n H_n(x)\varphi(x) où \scriptstyle H_n est le n-ième polynôme d'Hermite ; la densité possèdea 3 deux points d'inflexion en 1 et en -1. Ce sont les points en lesquels la dérivée seconde \scriptstyle \varphi'' s'annule et change de signe. Les deux points se situent approximativement aux trois cinquièmes

du modèle par vecteurs et contraintes. b ) Présentation du modèle par points de définition et polynômes de Bernstein. c ) Présentation du modèle par une suite de vecteurs. Construction géométrique d’un point de la courbe. TRAVAUX PRATIQUES 1 ) Exemples de courbes de Bézier définies par vecteurs et contraintes. 2 ) Exemples de courbes de Bézier définies par points de définition et polynômes de Bernstein. 3 ) Exemples de courbes de Bézier définies par une suite de vecteurs. 4 ) Exemples de formes réalisées

dénombrable (resp. au plus dénombrables). – N, Z, Q, N2 , Nn , n 1, Q[X] sont dénombrables. – R, C, P (N) , {0,1}N , NN ne sont pas au plus dénombrables. 8 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches • Théorème de Cantor-Bernstein : S’il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E dans F. 2 II Ensembles finis • Définition : Un ensemble E est fini s’il est vide ou s’il existe un entier naturel n et / une bijection

nombres reste vraie pour des variables aléatoires indépendantes positives de même loi, d’espérance commune égale p.s. E à +∞, c’est-à-dire que l’on a X1 +···+Xn → +∞. n QU En déduire qu’il existe une suite de polynômes qui convergent simplement vers f . On LE les appelle polynômes de Bernstein. ÉCO 2) Montrer qu’en fait, la convergence est uniforme. EXERCICE 5.4.4 Inégalité de Chernov Soit (Xn )n une suite de v.a.r. indépendantes de loi N (m, σ). 1) On pose pour u ∈ R : M (u) = E(eu(X1 −m) ). Calculer