Polynôme symétrique

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP

Existence et unicité Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet

a1,...,an des réels (an≠0). Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique : P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 L'entier n est le degré de P. Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P. Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré. La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement

. . Première S 1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 0 Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1 (x) = x2 + 2x − 8 P2 (x) = 2x2 + 3x − 14 P3 (x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique d’un trinôme est une forme à partir

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

Fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5