Polynôme symétrique

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

temporels: Considérons ( ) ( ) ( )pD pNpF = avec deg(N)≤deg(D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pD pN pD pN pD pN pD pNpF 3 3 2 2 1 1 ++== Avec: 1- D1(p) est un polynôme ayant toutes les racines simples, 2- D2(p) est un polynôme ayant toutes les racines complexes conjuguées deux à deux, 3- D3(p) est un polynôme ayant des racines multiples. - Cas 1: Si les pôles sont simples ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 1 − − − ++ − + − = n n pp A pp A pp A pD pN LLL Avec:

Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . 5.6 Polynômes irréductibles

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.13. Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.14. Polynômes du second degré ; forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Description

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

x→a h→0 f est continue en a si lim f(x) = f(a) x→a Fonctions continues sur l’intervalle où elles sont définies : -affine ; polynôme ; trigonométrique ; racine carrée ; constante par multiplication, addition, division ou composition. Dérivée : g = √(u) => g’ = (u)’/2√(u) ; f = 1/x² => f’ = -2x/x4 (sin x)’ = cos x ; (cos x)’ = -sin x (cos (u))’ = (u)’ sin (u)

c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; ]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; ] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; ]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; ]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; ]. 4. Déterminer, sur l’intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Le déterminant 3.1 3.2 3.3 Permutations et déterminants . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1 Algorithme de de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3 Raccords entre des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .