Polynôme symétrique

trigonalisable dans une base indépendante de t, une fois effectué le changement de base. Cela s'applique en particulier lorsque A est une matrice constante : EXEMPLES :  x' = 7x + 10y u Résoudre  y' = –3x – 4y 7 10 La matrice A vaut  –3 –4  de polynôme caractéristique λ2 – 3λ + 2 = 0 d'où λ = 1 ou 2. Pour     5 λ = 1, un vecteur propre est donné par  –3 , alors que pour λ = 2, un vecteur propre est donné par      2 . On prend donc D =  1 0  avec P =  5 2 . On a A = PDP–1.  –1 

égale à D. L'aire de la partie colorée est égale à . 27. x est un réel, l’équation : A. admet une infinité de solutions. B. admet une infinité de solutions. C. admet une infinité de solutions. 28. B est le milieu de [AC]. On a : A. B. C. F est le symétrique de E par rapport à B, alors AECF est un parallélogramme. D. 29. EFGH est un parallélogramme. On a : A. B. C. Les vecteurs D. Les vecteurs et et sont égaux. sont colinéaires. Page 5 sur 11 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons Révisions obligatoires

description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles (chapitre 9). Cet ouvrage ne prétend pas à l’exhaustivité et certains domaines des mathématiques

B.3 Pour toute matrice A, B, C ∈ Mn,p ( ), on a : • (A + B) + C = A + (B + C) (associativité) ; • A + 0n,p = 0n,p + A = A (existence d’un élément neutre) ; • l’existence d’une matrice notée −A telle que A + (−A) = (−A) + A = 0n,p (existence d’un symétrique) ; • A + B = B + A (commutativité). Définition B.4 Soit A ∈ Mn,p ( ) et λ ∈ . On définit la multiplication de A par λ et on note λA la matrice suivante : ∀i ∈ 1, n ∀ j ∈ 1, q (λA)i, j = λAi, j Exemple 1 2 3 0 1 −1 1 4 1 +2 = −1 −2 −3 1 −1 0

où µ n’est pas une valeur propre de A. Alors Y (t) = −eµt (A − µI)−1 β est une solution. 2. Soient B(t) un polynôme de degré r et A une matrice inversible. Alors le système admet comme solution un polynôme de degré r. 3. Soit B(t) = eµt P (t), où µ n’est pas une valeur propre de A et P est un polynôme de degré r. Alors le système admet une solution sous la forme eµt Q(t) où Q est un polynôme de degré r. Remarque 1.4.6 Soit Y ′ = AY + B, avec Y (0) = Y0 , où A ∈ Kn×n est inversible et B ∈ Kn . Il suffit

mathématiques par exemple en matière d'architecture, cette utilisation s'est faite de manière inconsciente puis intuitivement puis enfin consciement. La première fois que l'homme a voulu représenter le corps humain il l'a reproduit de maniere symétrique. Donc l'art et les mathématiques sont bien liés. 1 Le Cubisme Le cubisme est un langage pictural qui prend naissance au début du XXème siècle. C'est une façon d'aborder le monde totalement neuve et finalement un mouvement décisif de l'histoire

courbe de f présente un point d’inflexion au point d’abscisse x = a. Par exemple, la courbe de la fonction f (x) = x3 présente un point d’inflexion au point d’abscisse x = 0. La plupart des « cubiques » (courbes de fonctions dont l’expression est un polynôme du troisième degré) présentent également un point d’inflexion. 5 Plan d’étude d’une fonction : On considère une fonction f dont on connaît l’expression explicite. N’importe quelle fonction sera toujours étudiée selon le plan suivant (se

rayon [OA’], le cercle c2 de centre K et de rayon KB’ coupe le segment [OA] en U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ = d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = - = et OI = . L’angle (,) a un cosinus égal à , c’est bien un angle de . La

Rem: Il y a d'autres variantes des mouvements de Reidemeister. conséquences des 3 (ou 4) mouvements de Reidemeister ci-dessus. acceptée, ou une diérence dans l'ordre de placement des brins sur l'axe de Reidemeister La plupart ont une version symétrique aussi z avant projection. Mais ce sont tous des 1.3 Famille 1.3.1 Noeuds alternants Aussi appelés noeuds alternés ou alternables. Déf: Un diagramme est dit alternant si et seulement si pour tout segment entre deux croisements, les deux

Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3.3. Foyers et directrices