Polynôme symétrique

D*(x+f')=x*f'-x(x+f') ↔ x^2+Dx+f’D=0 Nous allons donc calculer le discriminant est en déduire les racines qui doivent être réelles : Δ=D^2-4Df'=D(D-4f') → D>4f' Les racines réelles de ce polynômes sont : O1A=x1=(-b+Δ^1/2)/2a=(-D+Δ^1/2)/2 O2A=x2=(-b-Δ^1/2)/2a=(-D-Δ^1/2)/2 Ainsi, il existe deux positions O1 et O2, de la lentille, symétrique par rapport au plan médiateur de [AA'] qui permet d'obtenir une image réelle de A. On en déduit la distance O1O2, séparant les deux position de la lentille qui conduisent à

. . . . . . . . 195 195 195 196 197 197 197 198 6 TABLE DES MATIÈRES B Bases de Gröbner B.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Relation d’ordre sur les polynômes de K [x1 , . . . , xn ] B.1.3 Division d’un polynôme par une suite de polynômes. B.2 Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• • 1 Cas d'une poutre o 1.1 Déformation o 1.2 Efforts de cohésion o 1.3 Contraintes 1.3.1 Contrainte normale 1.3.2 Cisaillement o 1.4 Calcul de la déformée o 1.5 Flexion en grande déformation o 1.6 Flexion déviée 1.6.1 Poutre symétrique 1.6.2 Poutre non symétrique o 1.7 Cas isostatiques 1.7.1 Flexion trois points 1.7.2 Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle 1.7.3 Poutre encastrée 1.7.4 Flexion quatre points 1.7.5 Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme 1.7.6 Poutre

deux positions pour lesquelles l’image se forme nettement sur l’écran. Ces positions sont symétriques par rapport au milieu de la distance objet - écran. [pic] On donne f’= (D²-d²)/4D et posons x=LA=LA’ Par la relation de conjugaison des lentilles minces, on a : 1/LA’ – 1/LA = 1/f’ = 1/(D-x)+1/x = (x+D-x) / ((D-x)x) = D / (x(D-x)) On obtient donc x²-xD+f’D = 0, polynôme du second degré Δ= D² - 4Df’ ; considérons Δ>0 → deux solutions x1= LA= (D-√(D²-4Df’))

une fonction dont l'ensemble de définition Df est centré en 0. On dit que f est paire lorsque, pour tout x de Df on a f −x  = f  x . Dans ce cas, la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que f est impaire lorsque pour tout x de Df on a f −x  =−f  x  . Dans ce cas, la courbe de f est symétrique par rapport à l’origine. Pour étudier la parité d'une fonction f , on vérifie que l'ensemble de définition est bien centré en 0, puis on calcule f −x  . On écrit : pour

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas

réelle, 0 ; Cette formule est utile en particulier pour linéariser les polynômes trigonométriques (dans le but par exemple de calculer leurs intégrales). Un polynôme trigonométrique est une somme de termes du type (sin θ)p (cos θ)q avec p, q ∈ N ; le linéariser, c’est l’exprimer comme une somme de termes de la forme sin kθ ou cos kθ. Pour cela, on commence par remplacer grâce à la formule de Moivre dans le polynôme eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et cos θ = . Puis, à l’aide de la tous les cos θ

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens

d’une matrice . . . . . . . . . . . . 2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .