Polynôme symétrique

vecteurs et processus gaussiens . . . . . 6.1.3 Regression a¢ne dans L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 La notion d’innovation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Polynômes d’opérateurs retard L et avance F . . . . . . . . . 6.2.1 Rappels sur les opérateurs retards . . . . . . . . . . . 6.2.2 Inversibilité des polynômes P (L) . . . . . . . . . . . . 6.3 Compléments sur les séries stationnaires : les autocorrélations 6.3.1 Autocovariance et autocorrélation . . . . . . . . . . . 6.3.2 Autocorrélations

paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X − 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; π]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π]. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; π]

lycée Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 Analyse 29 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 31 32 42 47 53 56 2 Suites et séries numériques

est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, on a alors x = ey. Donc le point M'(y, x) est situé sur la courbe de la fonction exponentielle. Or, le point M'(y, x) est le symétrique(1) du point M(x, y) par rapport à la droite D d'équation y = x. En conséquence : Les courbes Cexp et Cln sont symétriques par rapport à la première bissectrice D (droite d'équation y = x) Cexp y M' D:y=x 3 e 2 Cln M 1 Figure 2 -1 1 2 e 3 x -1 Puisque les fonctions exp

cherche d’abord l’image de à travers la lentille : on trace le rayon passant par qui n’est pas dévié, puis le rayon parallèle à l’axe optique qui passe par en sortie de la lentille. L’intersection nous donne . L’image de à travers le miroir est son symétrique par rapport au miroir - Dessiner l’image d’un objet perpendiculaire l’axe optique, en . Les rayons issus de ressortent de la lentille parallèles car l’objet est dans le plan focal objet. L’image de à travers la lentille est donc à l’infini :

(-2, 3)  quadrant 2   = 180° - 56,3° = 123,7° 2  3i - 2  13 (cos 123,7° + i sin 123,7°) = 13 cis 123,7 ° = 5.2 Remarques. 1. Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés. Leurs points-images associés sont symétriques par rapport à l'axe réel. 2. Le produit de deux nombres complexes conjugués est le carré de leur module : en effet : (a + ib) . (a - ib) = a2 + b2 = 2 27/12/2013 Les nombres complexes XVII - 5 5.3 Exercices Déterminer la forme trigonométrique

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

rayon [OA’], le cercle c2 de centre K et de rayon KB’ coupe le segment [OA] en U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ = [pic] d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = [pic] - [pic]=[pic] et OI = [pic]. L’angle ([pic],[pic]) a un cosinus

valeurs inférieures ou supérieures 7 2.3. Opérations : Théorème : Soient deux fonctions f et g continues en x0 et un nombre réel λ. 1) Les fonctions f+g, λf et fg sont continues en x 0. 2) Si de plus g(x)≠0, alors Corollaire : 1) Toute fonction polynôme est continue en tout point de ℝ. 2) Toute fonction rationnelle est continue en tout point où elle est définie. 1 �� �� �� et sont continues en x0. 2.4. Composition d’une fonction ayant une limite L (L∈ ℝ) par une fonction continue en L

]– ∞ ; – 1,5]. a) La courbe de f présente un axe de symétrie, parallèle à l’axe des ordonnées et passant par son sommet S(1 ; 1,85), d’où – 3 et 5 ont la même image par f. f(– 3) = f(5) = – 2,15. b) f(x) = a(x – α)2 + β car f est une fonction polynôme de degré 2 avec α = 1 et β = 1,85. Donc f(x) = a(x – 1)2 + 1,85. De plus f(5) = – 2,15 donc a(5 – 1)2 + 1,85 = – 2,15 – 2,15 – 1,85 1 =– a= 16 4 1 f(x) = – (x – 1)2 + 1,85 4 f(x) = (x – 1)2 Le sommet de la parabole représentant f est