Polynôme symétrique

Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 29 31 32 42 47 53 56 61 61 66 71 76 82 85 85 87 98 104 107 109 109 Analyse 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions

continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A)f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) = 0. [ 00707 ] [correction] ∞ Soit S(x) = an xn le développement en n=0 N a) Pour N ∈ N, on pose SN = an xn et n=0 (SN (x))2 − 1 − x est un polynôme dont la Exercice 4 série entière de x → +∞ √ 1 + x. RN = n=N +1 an xn . Montrer que plus petite puissance de x est de degré est une base de C(A). N + 1. b) Soit A ∈ Mn (C) nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice

Nulle H0, on peut déterminer h en procédant au calcul suivant : 95.0)80.980.9( =+≤≤− hZhP On transforme dans la loi Normale centrée réduite : 95.0)013.0 80.980.9 013.0 80.980.9( =−+≤≤−− hThP 95.0)013.0013.0( =≤≤− hThP L’intervalle est symétrique. On applique donc la relation : 95.01)013.0(2 =−∏ h )96.1(975.0)013.0( =∏=∏ h Par lecture inversée de la table de la loi Normale Centrée Réduite En égalisant, on arrive à h = 0.03 (valeur exacte 0.02548) 3) La règle de décision de

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème

existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t), ∀ t ∈ R. 2. Soit B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 2. [ENS] ('18) Soient n > 1 un entier naturel, B ∈ Rn et A une matrice carrée réelle symétrique. On suppose que pour tout V ∈ Rn, tV AV > 0. On note S = {U ∈ Rn ; AU = B} et on suppose S 6= ∅. Soit X ′(t) = −AX(t) +B (1) On appelle solution de (1) toute fonctionX ∈ C 1([0,+∞[) qui véri�e (1). On note ‖·‖ la norme euclidienne canonique sur

...............................................................................................50 f) Inéquations avec un inverse..................................................................................................51 III – Fonctions polynômes du deuxième degré..............................................................................52 a) Forme développée.................................................................................................................52 b) Forme canonique

moment cinétique orbital 139 6.4 Rotation d’une molécule diatomique 141 6.5 Composition des moments cinétiques 144 EXERCICES 148 CHAPITRE 7 • ATOME D’HYDROGÈNE 163 7.1 Historique 163 7.2 Champ central symétrique 165 Table des matières V 7.3 Étude en coordonnées sphériques 168 7.4 Étude en coordonnées paraboliques 177 EXERCICES 179 CHAPITRE 8 • MÉTHODES D’APPROXIMATION 185 8.1 Perturbations indépendantes du temps

l’asymptote. [pic] d’où [pic] avec [pic] d’où [pic] Ainsi [pic] Pour déterminer les variations de la fonction f étudions le signe de la dérivée f’. [pic] donc le signe de f’ dépend du signe de [pic] , polynôme du second degré dont le discriminant Δ = 16 ( 8 = 8 et [pic] les racines du polynôme sont [pic] et [pic] en remarquant que [pic] et que le coefficient de x² est positif nous pouvons déduire le signe de la dérivée f’ ainsi que le tableau des variations de la fonction f |x |1