Polynôme symétrique

M (z) O 2 Structures algébriques de C 1. ∀z1 , z2 , z3 ∈ C, z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 , on dit que + est associative ; 2. Il existe un élément neutre 0 pour + dans C : ∀z ∈ C, z + 0 = 0 + z = z ; 3. Tout élément de C possède un symétrique (opposé ou inverse) pour la loi + : ∀z ∈ C, ∃z ∈ C tel que z + z = 0 (il suffit de prendre z = −z). 4. La loi + est commutative : ∀z, z ∈ C, z + z = z + z. Proposition 2.0.1. C, + est un groupe commutatif, c’est-à-dire : Proposition 2.0.2. C

dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X (X0) =
 f”x1x1(X0) f”x2x1(X0) ... f”xnx1(X0) f”x1x2(X0) f”x2x2(X0) ... f”xnx2(X0) ... ... ... ... f”x1xn(X0) f”x2xn(X0) ... f”xnxn(X0)   =
 2f x1x1

34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes IV Algèbre

MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD C. Différence U B A ‫ ܣ‬− ‫}ܤ ∉ ݔ ݐ݁ ܣ ∈ ݔ ݁ݑݍ ݈݁ݐ ݔ{ = ܤ\ܣ = ܤ‬ Complément U A ܷ−‫∁=ܣ‬ ‫ܣ‬ = ‫ܣ‬ҧ ܷ Math L1 : Pré-Requis D. 9 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD E. La différence symétrique U A B Math L1 : Pré-Requis ‫{ = ܤ∆ܣ‬ሺ‫ ܣ‬− ‫ܤ‬ሻ ∪ ሺ‫ ܤ‬− ‫ܣ‬ሻ} = {ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ − ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ} 10 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD Exemples : A={1,2,3} B={4,5} C={2,3,4,5,6} U={chiffres de 1 à 10} • • • • • • • • • ‫{ =ܤ ∪ ܣ‬1,2,3,4

a introduit une structure autorégressive dans la perturbation zt : xt = a0 + a1 t + zt zt = θzt−1 + εt (1.7) (1.8) où (a0 , a1 ) ∈ R2 , |θ| < 1 et εt i.i.d. 0, σ2 . Le processus zt est un AR (1) stationnaire, puisque ε la racine associée à son polynôme autorégressif, égale à 1/θ, est supérieure à l’unité en module. Admettons que E (zt ) = 0. Etudions à présent l’influence du choc εt à une date T quelconque sur la séquence des (xt , t ≥ T ) . Pour ce faire, appliquons la décomposition de Wold au

multiplication. • Elément symétrique : On note toujours e l’élément neutre. Dans la loi @, x’ est le symétrique de x si et seulement si x’ @ x = x @ x‘ = e. Par exemple, dans , pour l’addition, le symétrique de 8 est (-8) : 8 + (-8) = 0, l’élément neutre. b. Loi de groupe On dit qu’un ensemble est muni d’une structure de groupe si on a défini dans cet ensemble une loi de composition interne associative, possédant un élément neutre et dont chaque élément possède un symétrique. Si de plus, la loi

.............................................................................................................33 EQUATIONS DU DEUXIEME DEGRE ......................................................................................................44 POLYNOMES...............................................................................................................................................58 PUISSANCES ET LOGARITHMES ..........................................................................

outils mathématiques nécessaires à la poursuite du cours. Par exemple, les notions de probabilité et d'espérance conditionnelles sont cruciales lors de l'étude des chaînes de Markov. • Nous devrons intégrer des fonctions simples telles les polynômes et la fonction exponentielle. Il est de la responsabilité de l'étudiant d'effectuer, au besoin, une courte révision. • Chapitre 1. Introduction à la probabilité (34 pages) Exercices avec corrections • Chapitre 2. Les variables aléatoires

16) ( ) 2 2 2 2 13 6 x x f x x x − + + = − − . 17) ( ) ( )2 2 3 2 2 6f x x x= + − − 18) 2 4 1 ( ) 2 3 x x f x x x − − − = + − 19) ( ) 2 1 3 5f x x x= − + − . Solutions 1) 2( ) 3 1f x x x= − + f Est une fonction polynôme donc Un réel a toujours une image. Donc fD = 2) 3 ( ) 2 4 x f x x = − . Pour les fonctions du type fractions rationnelles, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres pour lesquels le dénominateur est non nul.  / 2 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . .