Polynôme symétrique

nombre complexe Si est l’affixe deetl’affixe de, alors l’affixe du vecteurest Placer sur la grille ci-dessous les points,,et 2.2. Conjugué Le nombre complexe conjugué deest le nombre complexe Le pointest le symétrique depar rapport à l'axe des réels Quelle est la fonction Maxima permettant d'obtenir le conjugué d'un nombre complexe ? Conjugate Quel est le conjugué de? -3+4i Quel est le conjugué de? -4-3i Quel est le conjugué de? 0 Quel est

tout vecteur v, q(u)q(v)−B(u, v)B(v, u) ≥ 0. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donc également véri�ée. Exercice 2 Soit Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré infé- rieur ou égal à n (n ≥ 1). Pour tous P, Q ∈ Rn[X], on pose B(P, Q) = ∫ 1 0 tP (t)Q′(t)dt et q(P ) = B(P, P ). 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisy- métrique ? 2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dé�nie ? Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Résolution de systèmes linéaires . . . . . . . 5.2.2 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 La décomposition LU . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 La décomposition de Cholesky des matrices symétriques définies positives . . . . . . . . . 5.2.5 La décomposition QR . . . . . . . . . . . . . Calcul mathématique avec Sage La décomposition en valeurs singulières . . . . . . . . Application aux moindres carrés . . . . . . . . . . . . Valeurs propres

inconvénients d'indicateurs basés soit sur une structure euclidienne, soit sur une structure d'ordre. On peut introduire sous forme d'exercices la notion générale de quantile. 6. Fonctions de la variable réelle. Notions de limite et continuité. Polynômes. Les notions de limites ont déjà été abordées pour les suites, le professeur a la liberté d'admettre certains résultats sans démonstrations. Les fonctions sont définies sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point, et sont à valeurs

suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x0 : Lorsque x est proche de x0, on a : ƒ(x) ƒ(x0) + ƒ '(x0)(x − x0) + ƒ"(x0) ( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 3 ( x − x0 ) n + ƒ'"(x0) + ... + ƒ(n)(x0) 2 6 n! (Si, si ! Le membre de droite est un polynôme en x de degré n...) Dans cette formule, l'entier n s'appelle "l'ordre du développement de Taylor" et ƒ(n) désigne la dérivée nème de ƒ. 1. Utiliser la formule de Taylor à l'ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P1 de ƒ en x0 = 1. 2. Utiliser

fonction par un polynôme u(x) de degré n − 1 tel que ˜ ∀I de 1 à n, u(xI ) = uI . ˜ 2 Approximation d’une fonction uI u(x) ˜ u(x) x1 x2 xI xn Figure I.1 – Approximation de u(x) par un polymôme u(x) de degré n − 1. ˜ 1 1 N1 (x) x1 x2 N2 (x) x3 x4 x5 x1 x2 x3 1 x2 x5 x4 x5 1 N3 (x) x1 x4 x3 x4 N4 (x) x5 x1 x2 x3 1 N5 (x) x1 x2 x3 x4 x5 Figure I.2 – Polynômes de Lagrange

38 On note R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. n ∀ P ∈ E, on pose N1 (P ) = n ai X i avec n |ai | et N∞ (P ) = max |ai | où P = 0≤i≤n i=0 deg P . i=0 1. (a) Démontrer que N1 et N∞ sont des normes sur R[X]. (b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞ est un ouvert pour la norme N1 . (c) Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes. 2. On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note

III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace propre associé Proposition 1 : Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels. λ est une valeur propre de la matrice A ssi : det( A − λ . I ) = 0 . det( A − λ . I ) s’appelle le polynôme caractéristique de la matrice A , on le note PA ( λ ) . Professeure Salma DASSER 11 printempsSession printemps-été [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires Calculer les valeurs

négatif, Γ’ et Γ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.     Eléments de symétrie d'une courbe: • La droite d'équation (x = a) est axe de symétrie pour la courbe représentative de la fonction f si et seulement si ∀ h ∈ , a + h et a – h sont dans Df et f(a – h) = f(a + h) • Le point de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie pour la courbe représentative de la fonction f si et seulement si ∀ h ∈ , a + h et a – h sont dans Df et f(a – h) + f(a + h) = 2b 2. POLYNOMES DU SECOND DEGRE

étape: on compare ces valeurs. La plus grande donne le max de f sur I et la plus petite donne le min de f sur I. 3. Exemple f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de [−4; +3] 3 2 1ère étape: f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. f est donc continue et dérivable sur ] − 4 ; + 3[ f (x) = 0  x 2 − x − 2 = 0  (x + 1)(x − 2) = 0  x = −1 ∈] − 4 ; + 3[ ou x = +2 ∈] − 4 ; + 3[ Il existe donc deux points candidats x 1 = −1 ou x 2 = +2 2ème étape: f(−4) = −49/3 ; f(+3) = 3, 5