Polynôme symétrique

la définition des espaces vectoriels sont des propriétés bien connues des vecteurs de la géométrie du plan ou de l’espace. Le choix du mot « vecteur » va nous permettre de visualiser géométriquement une multitude d’objets — fonctions, suites, polynômes. . . — qui ne sont pas des vecteurs au sens où nous avons employé ce mot jusqu’ici, mais qui ont exactement les mêmes règles d’usage. Il est très important de se représenter les espaces vectoriels, même les plus abstraits, comme des « mondes géométriques

heures : 22,5 h Cours + 22,5h TD Objectif : L’objectif de ce cours est d’introduire les concepts de base en algèbre et en arithmétique élémentaire. Descriptif :  Polynôme et fractions rationnelles. - Généralités sur les polynômes d’une variable à coefficients réels ou complexes. - Racines d’un polynôme. Procédé d’écriture d’un polynôme selon les puissances de (x-a). - Division euclidienne dans R[X], C[X] ; factorisation. - Décomposition en éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps

(θ)(t − θ)n−1 dθ. (1.82) 0 Si on note Hn la fonction t → H(t)t , la primitive d’ordre n de f s’écrit Hn ∗ f . Γ(n) Ces considérations se généralisent également à l’obtention de la dérivée et la primitive d’ordre α avec α complexe. Convolution de polynômes-exponentiels : Toujours dans le cas de fonctions sommables f1 et f2 , le produit de convolution de deux distributions s’identifie au produit usuel de deux fonctions. En particulier, si elles appartiennent à D+ , nous aurons : t h(t) = (f1 ∗ f2

aurions pu prévoir l'allure du graphe de la fonction g(x) = 1 2       x à l'aide des propriétés des graphes associés. En effet, 1 2       x =   x12 = 2 – x Nous avons donc g(x) = f(-x) et les graphes de ces fonctions sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Observations :  a  R 0   si a > 1 : expa (x) est une fonction strictement croissante de R dans R 0  (0,1) et (1, a)  G a x n'admet pas de racine. lim  a x = +  et lim  a x = 0  si 0 <

......................................................................... 11 Matrice triangulaire....................................................................................................................................... 11 Matrices symétrique et antisymétrique.......................................................................................................... 11 Matrice idempotente..................................................................................................

. . . . . . 154 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 158 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

puis croissante. 2a x f – –4 – 36 + 4 Remarque : on peut rappeler aux élèves les propriétés de symétrie de la parabole, et ainsi les inciter à choisir la fenêtre graphique, centrée en – 4, dans laquelle le point d’abscisse 2 et son symétrique par rapport à – 4, c'est-à-dire le point d’abscisse – 10, sont visibles… ou laisser « tâtonner » les élèves, pour qu’ils rendent apparente la deuxième solution, puis leur faire évoquer les propriétés de symétrie. 5 Il semble que l’équation f

L’équation (E) s’écrit (z − i)(z 2 − 4z + 13) = 0. Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. • z −i = 0 ⇔ z = i • z 2 − 4z + 13 = 0. 2. (z − i)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b − ai)z 2 + (c − bi)z − ic. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients sont égaux. On obtient le système :    = 1 = 1  a  a     a = 1  b − ai = −4 − i c = 13 b = −4 ⇔ ⇔    = −4 − i  c − bi = 13 + 4i  b −i   c = 13 −ic = −13i 13 − bi = 13 + 4i donc z 3 −

Partie A Soit (E) l’équation z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0. 1. On a : i3 − (4 + i)i2 + (13 + 4i)i − 13i = −i + 4 + i − 4 + 13i − 13i = 0 donc i est solution de (E). 2. (z − i)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b − ai)z 2 + (c − bi)z − ic. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients sont égaux. On obtient le système :    a = 1 a = 1       a = 1  b − ai = −4 − i c = 13 b = −4 ⇔ ⇔    = −4 − i  c − bi = 13 + 4i  b −i   c = 13 −ic = −13i 13 − bi = 13 + 4i donc z 3 −