Polynôme

polynômial est basé sur l’utilisation d’un polynôme générateur G(x) connu à l’avance par à la fois l’émetteur et le récepteur du message. Les polynômes manipulés sont binaires : tous les coefficients sont 0 ou 1. Par conséquent, un polynôme générateur de degré k s’écrit sous la forme : G(x) = a0 ⊕ a1 .x ⊕ a2 .x2 ⊕ a3 .x3 ⊕ . . . ⊕ ak .xk où ∀i ∈ {0, . . . , k}, ai ∈ {0, 1} Le polynôme G(x) est associé à une valeur binaire. Exemple : La valeur binaire associée au polynôme G(x) = x3 ⊕ x ⊕ 1 est 1011. Soit M

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

de la valeur intermédiaire, il existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du quotient des termes de plus haut degré. Limite fonction composée Fog = g dans f Exemple : g(x) = 2x-3 et f(x) = x², Fog(x) = (2x-3)² Si : lim g(x) = b x→a Et si : lim f(x) = c x→b

second degré I) Différentes expréssions d’un trinôme 1. Définition : a b c sont 3 nombre rélle avec a ≠ 0 l’expression ax2 + bx + c s’appelle un trinôme ou un polynôme de 2nd degrès cet écriture es la forme développée et réduite du polynôme. 2. On peut parfois donnée une forme factorisée de ce polynôme. 3. Propriétés : on peut tjr écrire un trinôme sous forme canonique il existe tjr α etβ tel que ax2 + bx + c = a(x- α)2 + β Ex : 3x2 + 3x – 6= 3(x-1)(x+2) = 3 ( x

lorsqu'ils sont ? ou ? ?40 ?? R = roots(a) retourne les racines du polynôme dont les coefficients sont dans le vecteur a ?? fft, ifft : transformation de Fourier (Fourier rapide et son inverse) ?? fzero : zéros de fonctions ?? fmin, fmins : minimisation ?? quad, quad8, trapz : calcul d'intégrales ?? ode23, ode23p, ode45 : équations différentielles ?? diff, gradient, del2 : équations aux dérivées partielles ?? poly : construit un polynôme à partir de ses racines Pour obtenir des tracés graphiques : ?

mémoire nécessaire. Exemple : Calcul de la valeur d’un polynôme   Soit P(X) un polynôme de degré n P(X) = anXn + an-1Xn-1 + ... + a1X + a0 Où,   n : entier naturel an, an-1, ..., a1, a0 : les coefficients du polynôme Coût de l’algorithme : - (n+1) additions - (n+1) multiplications - (n+1) puissances  1ère variante : début P0 Pour i de 0 à n faire P  P+ ai*Xi finpour fin Exemple : Calcul de la valeur d’un polynôme  2ème variante : Inter  1 P0 Pour i de 0 à N

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

Fonctions polynômes de degré 2 Définition : une fonction trinôme est une fonction polynôme du deuxième degré , càd dont l’expression peut se mettre sous la forme développée f(x) = ax²+bx+c , où a,b,c sont des nombres réels données Objectifs : - étude de la fonction de référence : la fonction « carré » - Différentes formes pour l’écriture de l’expression des fcts trinômes ; utilité de chaque forme : sens de variation ; résolution d’inéquations I. La fonction de référence : la fonction « carré

de 100 itérations par exemple pour éviter le cas d'oscillations ! La complexité globale est en n3. Variante si m grand La complexité globale passe en n2 après la première utilisation… Factorisation PA=LU… Méthode de Bairstow dans le cas des polynômes On cherche à résoudre P( x ) = 0 , avec P ( x ) = x n + a n −1 x n −1 + K + a 0 . Méthode On cherche x 2 + βx + α qui divise P. On a P ( x ) = x 2 + βx + α Q ( x ) + (r1 x + r0 ) (division euclidienne). F : (α , β ) a (r0 , r1 ) . (

particulière de l’équation complète : méthode par identification Solution particulière du même type que le 2nd membre c(t). 23 ED linéaire du 1er ordre à coef csts 2nd membre c(t) constante polynôme k.eat k1.sin(at) ou k2.cos(at) combinaison linéaire des fonctions précédentes solution particulière yPC constante polynôme de même degré K.eat K1.sin(at) + K2.cos(at) combinaison linéaire des solutions précédentes (a, k, k1, k2 ,K, K1 et K2 étant des constantes réelles) 3) Solution générale de l’équation