Polynôme

des fonctions polynômes, racines d’un polynôme A. Définitions On appelle fonction monôme toute fonction définie sur ℝ de la forme ‫→ ݔ‬ On appelle fonction polynôme toute fonction égale à une somme de fonctions monômes. Le degré d’une fonction polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré. On note : ௡ ‫ܲ → ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ = ܽ௡ ‫ ݔ‬௡ + ܽ௡ିଵ ‫ ݔ‬௡ିଵ + … + ܽଵ ‫ ݔ‬ଵ + ܽ଴ ‫ ݔ‬଴ = ෍ ܽ௠ ‫ ݔ‬௠ ௠ୀ଴ On appelle fonction rationnelle toute fonction égale au quotient de deux fonctions polynômes. Math L1 :

+ 1 − 𝑛3 + 4𝑛2 − 4𝑛 = 3𝑛2 − 5𝑛 + 1  Etude du signe de 3𝑛2 − 5𝑛 + 1 qui est une fonction du 2nd degré donc : ∆= (−5)2 − 4 × 3 × 1 = 25 − 12 = 13 > 0 donc le polynôme admet 2 racines : 𝑛1 = 5+√13 2×3 = 5+√13 6 ≈ 1,43 𝑛2 = 5−√13 2×3 = 5−√13 6 ≈ 0,23 Donc nous pouvons établir le tableau de signes : 3𝑛2 − 5𝑛 + 1 sera du signe de 𝑎 = 3 > 0 à l’extérieur des racines. (Attention

à l'échelle pour le calcul des valeurs propres qz svd pinv cond rcond norm valeurs propres généralisées décomposition en valeurs singulières pseudo-inverse suivant norme L2 ( [(λmax)/( λmin)]) ≅ 1 bon , ≅ 0. mauvais normes L1,L2,Lp et L∞ polyeig polynôme aux valeurs propres Conditionnement condest suivant norme L1 normest estimateur de la norme L2 rank rang Fonctions de Matrices expm exponentiation (fonction interne) expm1 M_file correspondant à expm expm2 exponentiation par série

Tableau= collection de donn´es homog`nes, accessibles par un indice entier. e e D´claration d’un type tableau e type = tableau de Exemple : constante N = 5 type polynome = tableau de N r´´ls ee On peut alors d´clarer une variable de type tableau e Exemple: p : polynome et mˆme l’initialiser (p repr´sente 3x4 + 2x3 + 1) e e p : polynome = {1.0, 0.0, 2.0, 3.0, 0.0} Cours 4 : les tableaux, recheche et tri 3 Tableaux: d´claration/initilisation e Ensuite, on peut acc´der au i-`me ´l´ment du

rectitude d’un triangle. ✓ Exercices de recherche et de justification d’amplitude d’angles dans un cercle. ✓ Exercices et démonstrations utilisant les critères d’isométrie des triangles. ✓ Exercices de recherche numérique, d’opérations avec les polynômes. ✓ Exercices liés à la distributivité et aux formules des produits remarquables. ✓ Exercices liés à des opérations avec les puissances et des exposants négatifs. Sur Teams (3G) ou Smartschool (3T), je glisserai un fichier avec des exercices

 3 3 1 2 ( ) : 0 2 5 x x E x     1) a)-Vérifier que : ² 6 5 ( 3)² 4x x x     b)- En déduire les solutions de l’équation : ² 6 5 0x x   . L’écriture ( 3)² 4x  est appelée l’écriture canonique du polynôme ² 6 5x x  . 2) Donner l’écriture canonique du polynôme ² 2x x  puis résoudre l’équation ² 2 0x x   . De façon générale : Soit ( ) ²p x ax bx c   un trinôme du second degré tels que ,a b et c des réels et 0.a  On a : 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥

point on connaît la valeur d’une fonction f inconnue (à-priori): f(x0) …. f(xn-1) (rem :les f(xi) seront aussi notés fi ) Question : Quelle est la valeur de f sur les points intermédiaire ? * Pour cela on doit supposer un modèle mathématique de f (polynome, somme de sinus etc…) * On doit aussi savoir : 1) Les f(xi) sont-elles des valeurs exactes 2) Les f(xi) sont-elles des valeurs approchées (ex : pts de mesure) ? DONC : il n’y a pas de manière « idéale » d’interpoler/extrapoler une fonction car

numérique et différents modes de génération.  Connaître la définition par récurrence des suites arithmétiques et géométriques.  Approfondir la connaissance des fonctions polynômes de degré deux, et enrichir l’ensemble des fonctions mobilisables en vue de la résolution de problèmes.  Utiliser la fonction dérivée des fonctions polynômes de degré 2 ou 3, comme fonction déduite de la fonction étudiée.  Utiliser suites et fonctions dans le cadre de résolutions de problèmes, en lien avec les enseignements

K-espace vectoriel des fonctions de classe C k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. • Exemples Exercice 1.1 On considère une suite (Pk )k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk )0 2) Montrer que (Pk )k∈N est une base de K [X ]. n k n est une base de Kn [X ]. 1) Soit (l1 , . . . , ln ) dans K tel que (1) n k=1

DEUG II MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude