Polynôme

Note : /10 Date : /0 /2011 Mercredi : Polynômes Soit P(x) un polynôme de degré 4. Factoriser P(x), en sachant que 1 est une de ses racines. /3 P(x)= (…..)x4+ (…..)x3+ (…..)x2+ (…..)x+ (…..) Soit Q(x) un polynôme de degré 3. Factoriser Q(x), en sachant que 1 est une de ses racines.

AR d’ordre p. Choisir p à l’aide des critères BIC et/ou AIC. 3. Peut on valider la modélisation obtenue ? (Indication : tester si la suite (εt)t est bien un bruit blanc à l’aide de la fonction Box.test). 4. Calculer et représenter les racines du polynôme caractéristique (utiliser polyroot). 5. Comparaison avec une série simulée suivant le modèle estimée (a) Simuler une trajectoire de longueur 109 suivant le modèle autorégressif obtenu à la question 2. (b) Tracer la série simulée, ses auto-corrélations

DETERMINER L’ENSEMBLE DE DEFINITION D’UNE FONCTION ? S’il n’est pas donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ , un intervalle, ou une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes

Recueil d’exercices Q–2 6. À l’aide d’un développement de Taylor autour de x0 = 0, on a approché la fonction f (x) par le polynôme p(x). Sachant que : • f (0, 1) = 3,156 • p(0, 1) = 3,156 016 et f (0,3) = 3,267; et p(0,3) = 3,165, estimer l’ordre de précision du développement de Taylor utilisé et en déduire la valeur maximale possible pour le degré du polynôme p(x). [Indice] [Solution] [TdM ] 7. On utilise souvent l’approximation : sin x x. D’où vient cette approximation et quel est son

0 0 x 1 F IG . 5.3 – Interpolation P en 2D Interpolation sur un élément finis P 1 Sur chaque élément ek du maillage, l’approximation f h par élément finis P 1 d’une fonction f (x, y) est un polynôme de degré 1 en x et y, qui s’écrit : h f|ek = ax + by + c Pour déterminer ce polynôme, il faut 3 points d’interpolation {Pj } j=1,3 et la valeur de la fonction {Fj = f (Pj )} j=1,3 en ces 3 points. Les 3 équations {P(x j , y j ) = Fj } j=1,3 h permettent alors de déterminer les 3 coefficients

approximations polynomiales de degré 1 à 5 en x et y. Un polynôme P1 de degré 1 possède 3 coefficients, un polynôme P2 6 coefficients, un polynôme P3 10 coefficients, un polynôme P4 15 coefficients, un polynôme P5 21 coefficients , et sont donc associés à autant de degré de liberté (ou points d’interpolation) que de coefficients. Le choix des points d’interpolation n’est pas quelconque et doit permettre d’assurer la continuité inter-élément. Pour des polynômes Pn , il faut donc, sur chaque coté du triangle

carrés afin d’ajuster une tendance sous la forme d’un polynôme de degré choisi. L’observation du graphe de la série donne une idée du degré du polynôme (selon la forme de la courbe) Il faut faire un compromis entre : obtenir des résidus qui fluctuent autour de 0 avec une amplitude la plus faible possible (cela nécessite un degré élevé) utiliser un polynôme de degré le plus faible possible. On choisit le degré minimum du polynôme qui donne un ajustement correct : il y a un degré à partir

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.5 Quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Limite en l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle 12 4.1 Cas d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Cas d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Asymptote oblique ∗ Ce

vecteur tension et le termes libres qui contient les sommes de vecteur courant multipliée avec le puissances de vecteur tension. Pour une meilleure compréhension j’ai mis un exemple, avec x le vecteur tension, y le vecteur courant et le degré de polynôme est p : [pic] La première équation (k = 0) s'écrit : [pic] C'est à dire : nco + c1S1 + c2S2 + … + cpSp = Wo La seconde équation (k = 1) s'écrit : [pic] C'est à dire : coS1 + c1S2 + c2S3 + … + cpSp+1 = W1

http://mathemitec.free.fr/index.php Ds 01 Terminale S – Septembre 2007 EXERCICE 4 – 3 points Soit P le polynôme définie par P( x) = x 3 + 7 x 2 + 2 x − 40 . L’objectif est de déterminer le signe du polynôme P sur ℝ . 1. Montrer que 2 est racine de P. 2. En déduire l’existence d’un polynôme Q de degré 2 tel que P( x) = ( x − 2 ) Q ( x) puis déterminer ce polynôme Q. 3. Terminer la factorisation du polynôme P. 4. Conclure. EXERCICE 5 – 4 points Objectif : on cherche à démontrer le résultat admis en 1ère