Polynôme

...................................... 2 Propriété I.2 – Lien entre coefficients et racines ....................................................................................................................... 2 Propriété I.3 – Création d’un polynôme avec deux racines souhaitées............................................................................ 2 II. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ .........................................................................................................

retard B (BYt = Yt−1 ) à Yt = p X j=0 aj B j Xt = A(B)Xt , aj B j . où A désigne le polynôme A(B) = Notons U = [−π, π[ ; la fonction R : U −→ C, définie par : R(λ) = p X j=0 Pp j=0 aj e−ijλ = A(e−iλ ) MASTER M2. MINT : Séries Temporelles —M.Boutahar 18 est appelé fonction réponse du filtre moyenne mobile (aj )0≤j≤p . De plus si Y traverse P0 un autre filtre moyenne mobile de polynôme C(B) = p cj B j , le processus image Z j=0 défini par : Zt = p X j=0 0 cj Yt−j = C(B)Yt

on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ). Correction [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = Indication Correction 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. [000715] Exercice 7 Dans l’application du théorème des

+ y)n Correction 2 2n−1 (xn + yn ). Vidéo [000739] Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo [000717] Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo [000715] Exercice 7

repère orthonormal (unité graphique : 2cm) Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur IR par : g(x) = x3 – 3x – 4 g est une fonction polynôme donc dérivable et continue sur IR {draw:frame} {draw:frame} Pour tout x réel, g’(x) = 3x²-3 = 3(x+1)(x-1) g’ a le signe d’un polynôme de degré 2 dont les racines sont -1 et 1 ainsi : D’après le tableau des variation et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel

fonctions u et v sont dérivables sur donc la fonction uv l’est aussi et on applique la formule :(uv)’ = u’v + uv’. Ainsi pour tout x réel : f ’(x) = 2xcos(x) + x 2(-sin(x)) soit f ‘(x) = 2xcos(x) - x 2sin(x) . b) g est une fonction polynôme donc dérivable sur . On a pour tout x réel : g ‘(x) = 12x 3 + 3x 2 + 2x + 1. [pic] c) Soit v(x)=x 2 +2. Alors v est dérivable et ne s’annule pas sur donc ))est dérivable sur . On utilise [pic]. On a pour x réel : [pic] soit : d) La

polynômiaux).. Au message X, on associe le polynôme : X(z) = x0 + x1 z + x2z2 + .....+ xm-1 zm-1 De tels polynômes peuvent être ajoutés (modulo 2) et multipliés suivant les règles booléennes. Un code polynomial est un code linéaire systématique tel que chaque mot du code est représenté par des polynômes Y(z) multiples d'un polynôme H(z) appelé polynôme générateur : Y(z) = Q(z).H(z) Examinons comment on passe de l'information utile (m bits) représentée par un polynôme X(z) à l'information codée (n bits)

de la série géométrique (en vérifiant avec soin que le raison est différente de 1). ▶ Savoir calculer les racines carrées de ω donné sous forme polaire ou algébrique. ▶ Savoir exprimer cos( bychev). ) sous la forme d’un polynôme en cos( ) pour des « petites » valeurs de (polynômes de Tche- ▶ Savoir linéariser un produit de fonctions trigonométriques. ▶ Savoir résoudre une équation du second degré à coefficients complexes. ▶ Savoir calculer deux nombres complexes et connaissant les valeurs de + et

proposée. 3. Décomposition d’un polynôme en facteurs 3.1. Rappel sur fonction rationnelle entière 3.1.1. Définition On appel polynôme ou fonction rationnelle entière de x, la fonction où n est un nombre entier v ; le nombre n est le degré du polynôme. 3.1.2. Racine d’un polynôme La variable indépendante x peut également prendre soit des valeurs réelles, soit des valeurs complexes. On appelle racine d’un polynôme, la valeur de la variable x pour laquelle le polynôme s’annule. Chapitre II : Espaces

désignera par Mac2 l’ensemble des fonctions définies cidessus. I - ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES 1) Montrer que l’ensemble Mac2 est non vide. 0,25pt 2 2) Prouver que toute fonction polynôme est un élément de l’ensemble Mac (On pourra distinguer le cas des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 du cas des fonctions polynômes de degré strictement supérieur à 2) 01pt 3) Soit u la fonction de IR vers IR définie par : u x . 0,25pt 0,5pt a) Vérifier que (1-x + x2) (1 + x) = 1 + x3 pour tout x appartenant