Polynôme

par des nombres donnés et en effectuant les opérations indiquées. Exemple 2 a + b) La valeur numérique de 3a + 5 ( pour a = 3 et b = 2 est 50,6666... 3 € 19 Parmi les expressions algébriques, nous distinguons les monômes et les polynômes. A. Les monômes Un monôme est un produit de facteurs numériques (le coefficient) et littéraux (la partie littérale). Exemple 3 3 − a 2b est un monôme dont le coefficient est − 4 4 et la partie littérale a 2b €Le degré d'un monôme

simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul d’intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l’approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin

bases de ces carrés par la différence de ces mêmes bases. 2. Mise en évidence simple dans chacun des groupes. x(a + b) + y(a + b) E XEMPLES C OMMENT 1. Écrire le facteur commun en le faisant suivre de parenthèses. 2. Diviser chacun des termes du polynôme par ce plus grand facteur commun. E XEMPLE 3 2 2 2 2 12a c − 16a c + 8ac = 4ac(3a c − 4a + 2c) À RETENIR Lorsque les deux termes de la somme ou de la différence sont des cubes. Écrire le produit de la somme ou de la différence des bases

élément. Dans cette catégorie, on a 4.2.1 Intégration des fractions rationnelles Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer les polynômes, ainsi 1 ↵x + que les fonctions (avec p 1), et (avec p 1). (x a)p (ax2 + bx + c)p Pour p = 1 Z dx = ln(x a) + C, x a et pour p 2, Z dx 1 1 = . (x a)p p 1 (x a)p 1 ↵x + est un peu plus délicat. On se restreint (ax2 + bx + c)p bien sûr au cas où le

CHAPITRE 2. CALCUL LITTÉRAL 38 et x + (−y + z) = x − y + z. 2) Si une parenthèse est précédée du signe on change les signes des termes dans la parenthèse. Par exemple, a − (b − c + d) = a − b + c − d et x − (−y + z) = x + y − z. 2.3 MONÔMES ET POLYNÔMES 2.3.1 LES MONÔMES Les expressions suivantes sont des monômes: 1 2 2 3 − xy 0,3a2 b x yz 2 3 Un monôme est un nombre, ou une variable, ou le produit d’un nombre et de certaines variables. 12 x 3z3 Dans un monôme, le nombre s’appelle le cœfficient

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

puissance nième d’une matrice n × n (à n lignes et n colonnes). a b  A=  a ' b'     La trace de A Tr (A) = a + b' Le déterminant de A Det (A) = ab'− ba ' Le polynôme caractéristique de A PA (λ) = λ2 − Tr (A)λ + Det (A) Le spectre de A S pe(A) = { λ i / P(λ i ) = 0 } : le spectre de A est l’ensemble des racines de son polynôme caractéristique PA (λ) . • Une racine de PA (λ) peut être un nombre complexe. Le théorème de CALEY-HAMILTON Si A est une matrice 2 × 2 alors A 2 − Tr (A)A + Det (A)I

les valeurs propres de A. On a donc la relation λi = ξi dès que toutes les valeurs propres de A sont non nulles. On montre (cf. annexe) que p Φ(λ) = = λ − p i=1 i=1 p ai λp−i (II.6) (λ − λi ) Ainsi, si toutes les racines de ce polynôme ont une partie réelle négative −1 (pour λi = ξi , R(ξi ) = 1/R(λi ) et donc [R(ξi ) < 0 ⇔ R(λi ) < 0] ), le processus solution de l’équation différentielle est stable. Le passage au processus discret associé se fait naturellement : on sait que xk

alors on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ). Correction Vidéo [000739] 1 2 Théorème de Rolle et accroissements finis Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Indication Correction Vidéo Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) = 1 − t2 n (n) [000717] est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème

problème de la convergence des séries, telles des polynômes continués. Au XV II e siècle, on manipule les séries entières : on les intègre terme à terme et on les différentie terme à terme ... Ainsi Mercator (1619-1687) donne le développement en série entière de log(1+x), Newton (1642-1727) donne en 1665 le développement de (1+x)α avec des notations modernes : p=+∞ (1 + x) = 1 + p=1 α α(α − 1) · · · (α − p + 1) p x p! Une application polynôme est la somme d’un nombre fini d’applications monômes