Polynôme

matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens

effectuer des opérations mathématiques sur les expressions algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples. Les fiches suivantes portent sur ces différentes notions: Du monôme au polynôme Les opérations sur les expressions algébriques La factorisation d'un polynôme La simplification des fractions rationnelles La notion d'équation et la traduction d'un énoncé La notion d'inéquation et la traduction d'un énoncé Les méthodes générales de résolution d'équations La résolution

Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 29 31 32 42 47 53 56 61 61 66 71 76 82 85 85 87 98 104 107 109 109 Analyse 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions

]– ∞ ; – 1,5]. a) La courbe de f présente un axe de symétrie, parallèle à l’axe des ordonnées et passant par son sommet S(1 ; 1,85), d’où – 3 et 5 ont la même image par f. f(– 3) = f(5) = – 2,15. b) f(x) = a(x – α)2 + β car f est une fonction polynôme de degré 2 avec α = 1 et β = 1,85. Donc f(x) = a(x – 1)2 + 1,85. De plus f(5) = – 2,15 donc a(5 – 1)2 + 1,85 = – 2,15 – 2,15 – 1,85 1 =– a= 16 4 1 f(x) = – (x – 1)2 + 1,85 4 f(x) = (x – 1)2 Le sommet de la parabole représentant f est

résoudre des équations différentielles. Résumé Les fonctions usuelles de l’analyse TTP Propriétés de limites ex −1 =1 0 x 2°/ lim x ae x = 0 pour tout réel a > 0 1°/ lim −∞ ex 3°/ lim a = ∞ pour tout r éel a > 0 ∞ x ex 4°/ lim = ∞ pour tout polynôme P à coefficients r éels ∞ P (x ) C) Les fonctions trigonométriques et leurs réciproques 1°/ Si l'on restreint la fonction sinus à l'intervalle LM −π , π OP , on obtient une bijection N 2 2Q entre cet intervalle et −1 , 1 , la fonction réciproque

n! et par (Ln )n∈N la suite des polynômes de Legendre définie par : (n) ∀n ∈ N, Ln = Un . Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers relatifs de degré n. Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par : 1 ∀k ∈ N, Ik = sin (πt) tk dt, 0 alors :   I0 = 2 , I1 = 1 ,  π π 1 k (k − 1)   Ik = − Ik−2 (k ≥ 2) π π2 et pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de

continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il

/ a +∞ ax + b + 0 - 2/ Les fonctions polynômes de degré 2 La fonction carré La fonction carré est définie sur R par f(x) = x² f'(x) = 2x x -∞ 0 +∞ f'(x) - 0 + f(x) +∞ -∞ 0 Sa représentation graphique est une parabole. ( forme = u ou n ) Inégalités a et b sont deux réels négatifs a ‹ b ssi a² › b² a et b sont deux réels positifs a ‹ b ssi a² ‹ b² Cas général Les fonctions polynômes de degré 2 sont les fonctions f définies sur R par f(x)

données 10 Détection d’erreur par CRC (Cyclic redundancy Code) – Basée sur des calculs de division de polynôme à coefficient dans [0, 1] – Exemple: 1 0 1 0 1 correspond à x4+x2+1 – Division de x3+x2+1= (x2+1)* (x + 1) + (x) : Reste =x, Quotient = x+1 – Arithmétique polynomiale modulo 2 (sans retenue): soustraction et addition sont équivalentes à un ou-exclusif bit à bit – On se donne un polynôme générateur G de degré n qui détermine le nombre de bits de contrôle n T: Données 000...0 Reste – T= Quotient*G

Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .