Polynôme

 f(x) est de la forme u×v avec u = 4x² ‐4 et v = ex  donc f’(x) = u’×v + u×v’ = 8xex + (4x² ‐4) ex = ex(4x² +8x ‐4) = 4(x² + 2x ‐1)ex  b. la tangente est parallèle à l’axe des abscisses lorsque f’(x) = 0 donc lorsque le polynôme  du seconde degré x² + 2x ‐1 s’annule. Les racines de ce polynôme sont   (‐1+√2) ≈ 0,41 et (‐1+√2) ≈ ‐2,41  2. a. Le développement limité, à l’ordre 2, de la fonction x   ex est ex = 1 + x + x²/2 + x²ε(x)  Par multiplication des développements limités et suppression des termes d’ordre supérieur 

fonction par un polynôme u(x) de degré n − 1 tel que ˜ ∀I de 1 à n, u(xI ) = uI . ˜ 2 Approximation d’une fonction uI u(x) ˜ u(x) x1 x2 xI xn Figure I.1 – Approximation de u(x) par un polymôme u(x) de degré n − 1. ˜ 1 1 N1 (x) x1 x2 N2 (x) x3 x4 x5 x1 x2 x3 1 x2 x5 x4 x5 1 N3 (x) x1 x4 x3 x4 N4 (x) x5 x1 x2 x3 1 N5 (x) x1 x2 x3 x4 x5 Figure I.2 – Polynômes de Lagrange

(z²-2)(2z²+5) = 0 (z²-2)(z²+5/2)*2 = 0 5.3. Degré supérieur à 2 Pour le degré 3, il faut trouver une « solution évidente » puis factoriser le polynôme à l'aide d'une division euclidienne. Les solutions évidente sont à considérer parmi : ,,,,,,... Propriété : les polynômes complexes sont factorisables dansen n polynômes de degré 1 Propriété : les polynômes à coefficients réels ont leurs racines complexes conjuguées 2 à 2 Exercice : résoudre dans, doncest une solution évidente On effectue la division

978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12

de l’asymptote. 3. La fonction f étant une fonction rationnelle définie sur ]1; + ([ , f est dérivable sur ]1; + ([ et [pic] 4. Etudions le signe de la dérivée f’. On a [pic] donc f’ est du signe de[pic], polynôme du second degré dont le discriminant Δ = 16 ( 8 = 8. les racines du polynôme sont [pic] et [pic] . On remarque que [pic] et que le coefficient de x² est positif nous pouvons déduire le signe de la dérivée f’ ainsi que le tableau des variations de la fonction f. |x | |1 |

[correction] On note R(N) l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que R(N) est un sous-espace vectoriel de ∞ (R). b) Est-il ouvert ? c) Est-il fermé ? Exercice 8 [ 01111 ] [correction] Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degré n scindés à racines simples est une partie ouverte de Rn [X]. Exercice 9 [ 01112 ] [correction] Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue

(0,5 pt) 2) Sachant que (1 + 𝑖)3 = −2 + 2𝑖, déterminer les racines cubiques de −2 + 2𝑖. (0,75 pt) Exercice 2 :(6,25 points) A- Soit P le polynôme défini par : P(𝑧) = 𝑧3 − 2(1 + 2𝑖)𝑧2 + 7𝑖𝑧 + 3(1 − 3𝑖). 1) Montrer qu’il existe un nombre imaginaire pur 𝑧0 tel que P(𝑧0) = 0. (0,75 pt) 2) Déterminer

2 3 x  j(x) = 4x + 1 e x + 2 Le corrigé du DM  a est dérivable sur ]0; + ∞[ car c’est la somme de 3 fonctions dérivables sur ]0; + ∞[ et a'(x) = 1 2 x - 1 x² + e x  b est dérivable sur IR car c’est le produit de deux fonctions polynômes et on obtient en utilisant la formule (uv)' = u'v +uv' la dérivée suivante : b'(x) = 18 x 2 -2 x + 1  c est dérivable sur IR car c'est une somme de fonctions dérivables sur IR et c'(x) = 6x - 5  d est dérivable sur IR- { - 1 3 } comme

Fonction polynôme [pic] 4) [pic] [pic] [pic] [pic] 5) [pic] [pic] [pic] [pic] 6) [pic] [pic] [pic] [pic] Exercice 4  Soit f la fonction définie sur [pic] par [pic] = [pic]. Partie A : f est une fonction polynôme dérivable sur [pic], et [pic] = [pic].

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances