Polynôme

si et seulement si q ne l’est pas pour p.  ». Gauss a également été le premier mathématicien à démontrer rigoureusement le théorème de D’Alembert : « Tout polynôme à coefficients complexes non constant se décompose en un produit de polynômes de degré 1 à coefficients complexes » ou encore « Tout polynôme à coefficients complexes non constant a au moins une racine complexe ».De plus, Gauss est le premier à avoir donné une bonne définition de la courbure.Enfin, Gauss est également

Solution 2 x 2 0 On a lim  x −e 5 = 0 −e 5=−15=4 . x 0 Méthode 2 Si f est une fonction polynôme et si x∞, alors on calcule la limite de son terme de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode un peu plus longue qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur). Exemple 3 Calculer lim −75 x−9 x  . x – ∞ Solution On cherche la limite d'un polynôme en –∞. Il suffit de calculer celle de son terme de plus haut degré. On a donc : 3 3 lim −75 x−9

fonctions de R dans R. Soient P le sous-espace des fonctions paires et I le sous-espace des fonctions impaires. Montrer que E = P ⊕ I . Donner l'expression de la projection sur P de direction I . Exercice 10 Soit E = Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ n, et soit f : E → E dénie par : f (P ) = P + (1 − X)P ′ . Montrer que f est une application linéaire et donner une base de ker f et de Im f . Exercice 11 Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et f l'endomorphisme de R3 tel

Alors y′ (t) = z′ (t) et + z (t) et y′′ (t) = z′′ (t) et + 2z′ (t) et + z (t) et d’où (après division par et �= 0) y′′ − 5y′ + 6y = tet ⇐⇒ z′′ + (2− 5) z′ + (1− 5 + 6) z = t ⇐⇒ z′′ − 3z′ + 2z = t On cherche ensuite une solution sous la forme d’un polynôme de degré 1, z (t) = at+ b. Alors z′′ − 3z′ + 2z = t⇐⇒−3a+ 2at+ 2b = t⇐⇒ a = 1 2 , b = 3 4 z (t) = t 2 + 3 4 Les solutions de l’équation en y sont y (t) = λe2t + µe3t + � t 2 + 3 4

(x − 2) = (−5x + 2) + 2 3 4 12 38 x + 3 4x − 3 5x − 12 − −1=− 2 3 6 47 (4x − 3)2 48 (5x − 2)2 49 (3x − 8)(3x + 8) 50 (3x + 2)2 − (x − 3)2 51 (2x + 1)(2x − 1) + (1 − 3x)2 52 (2x + 1)3 Factoriser avec un facteur commum Factoriser les polynômes suivants à l’aide d’un facteur commun : Développements Développer, réduire et ordonner les expressions algébriques suivantes :   2 53 P(x) = 18x − 27 54 P(x) = 4x2 − 3x 55 P(x) = 5x2 − 7x 11 octobre 2010   E

demandée. Une bonne réponse vaut 1 point et une mauvaise réponse vaut 0 point. NB : Toute surcharge ou l’emploi de correcteur vaut zéro point. N° Questions Réponse A Réponse B Réponse C 1 Le polynôme 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 − 2𝑥 − 1 admet comme ensemble solution : 𝑆 = { 1 − √5 4 ; 1 + √5 4 } 1 − √5 4 𝑒𝑡 1 + √5 4 𝑆 = { −1 − √5 4 ; −1 + √5 4 } 2 lim 𝑥−>+∞ 𝑥² −2+

fonctionnement est classique. Exemple: calculer le plus petit entier n tel que 2n soit supérieur à un réel a donné. >> max =1998; n=1; >> while (2^n >n=1:20; max(find(2.^n)> p = [2 4 8];%représente le polynôme suivant: p = 2x2 + 4x + 8 Comment différencier alors un vecteur normal d'un polynôme ? En fait c'est simplement par le genre d'opérations qu'on effectuer sur la variable p. Ainsi si on fait l'opération suivante: 4 8 16 >> p'*p ( ans = 8 16 32 16 32

il s'agit de : • combiner les apports de l'utilisation d'un graphique et d'une résolution algébrique, • mettre en relief les limites de l'information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. 2. Nos choix 3. Place dans la progression Les méthodes de résolution graphique d’inéquations ont été explicitées au chapitre 1. Elles ont été réinvesties dans les chapitres 3, 4 et 5 pour des résolutions

Taylor. En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable

r) + (n − r)p = pn − r2 . Correction de l’exercice 5 1. u est dans L(E) car u est linéaire et si P est un polynôme de degré au plus n alors u(P) est un polynôme de degré au plus n. • Les polynômes constants sont dans Keru. Réciproquement , soit Pun élément de Keru puis Q = P − P(0). Par hypothèse, P(0) = P(1) = P(2) = ... et donc 0, 1, 2, ... sont des racines de Q. Puisque le polynôme Q admet une infinité de racines, Q est nul et donc P = P(0) et P ∈ K0 [X]. Ainsi, Keru = K0 [X]. • Mais alors,