Polynôme

Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . 5.6 Polynômes irréductibles

définition de . Soit x un réel  existe  Calcul du discriminant : D'où :  et les racines sont  et  Le polynôme est strictement positif pour  ------------------------------------------------- [modifier]Solutions  : * Il faut que  donc que . * Il faut que le nombre sous la racine soit positif ou nul :  soit  D'où :   : * Il faut que  donc que . Ce qui est toujours le cas : le polynôme  ne possède pas de racines dans  * Il faut que le nombre sous la racine soit positif ou nul :  soit 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 143 143 143 145 145 146 12 Polynˆ omes et transform´ ee de Fourier 12.1 La classe Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 D´efinition de la classe . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Cr´eation, affichage . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Pr´edicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Premiers tests . . . . . . .

Dans les trois expressions obtenues, x n'apparaît plus qu'une fois. b ) Forme canonique générale Propriété et définition Preuve : il suffit de développer la forme canonique (calculs à savoir refaire). Un polynôme de degré 2 (ou encore trinôme du second degré ou encore trinôme) est une expression de la forme , où et sont trois réels donnés, tels que . et sont appelés coefficients du trinôme Soit trois

dire une fonction qui à tout x associe un polynôme, soit P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 est égale à la limite en ±∞ du terme de plus haut degré de P soit an xn , c'est à dire que l'on a : x→±∞ Théorème 5. lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = lim an xn x→±∞ Théorème 6. La limite en ±∞ d'une fonction rationnelle Q, c'est à dire une fonction qui an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 à tout x associe le quotient de 2 polynôme, soit Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · +

inconvénients d'indicateurs basés soit sur une structure euclidienne, soit sur une structure d'ordre. On peut introduire sous forme d'exercices la notion générale de quantile. 6. Fonctions de la variable réelle. Notions de limite et continuité. Polynômes. Les notions de limites ont déjà été abordées pour les suites, le professeur a la liberté d'admettre certains résultats sans démonstrations. Les fonctions sont définies sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point, et sont à valeurs

` Exercice 2: Soit f la fonction donn´ par f ( x ) = ∑n=0 ak cos(kx ) + bk sin(kx ) ou ak ∈ e k R. 1. On suppose que f s’annule en 2n + 1 points distincts de [0, 2π [. Montrer que f ≡ 0 et que ak = bk = 0 pour tout k. ˆ Indication: Consid` rer un polynome de degr´ 2n en eix . e e 2. On suppose ici que f (0) = sup f ( x ) > n | f ( x )| x ∈R et on pose g( x ) = 1 n f (0) sin(nx ) − f ( x ) (2k+1)π a) Montrer que g s’annule 2n fois sur [0, 2π [. (Consid´ rer les points 2n ) et e que g

numérique (10) • Interpolation polynomiale : • Complexité de calcul du polynôme de lagrange (1) ANALYSE NUMERIQUE 4. Interpolation numérique (11) • Interpolation polynomiale : • Complexité de calcul du polynôme de lagrange (2) 1 OPE 1 OPE 1 OPE 1 OPE ANALYSE NUMERIQUE 4. Interpolation numérique (12) • Interpolation polynomiale : • Complexité de calcul du polynôme de lagrange (3) 1 OPE 1 OPE 4n OPEs ANALYSE NUMERIQUE 4. Interpolation

Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette Table des matières Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctions Introduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h

Contenus de Mathématiques ACTIVITES NUMERIQUES ET GRAPHIQUES Inéquations, systèmes d’inéquations Résoudre graphiquement un système linéaire de deux inéquations à deux inconnues (régionnement du plan). Polynômes du second degré Résoudre algébriquement une équation du second degré. Factoriser un polynôme du second degré. Résoudre graphiquement une équation du second degré. Résoudre graphiquement une inéquation du second degré. Résoudre une inéquation du second degré à l’aide d’un tableau de signes. 3