Polynôme

G. Qu’est-ce que la quatrième proportionnelle à 3 nombres ? La quatrième proportionnelle à 3 nombres  a, b et c est le nombre x tel que a = c b = x 2. Factorisation et C.E : A. Qu’est-ce que factoriser un polynôme ? Factoriser un polynôme, c’est le transformer en un produit de facteurs. B. Méthodes : I. La mise en évidence (infinité de termes) II. Les produits remarquables : a) Le carré d’un binôme (3 termes, 2 carrés parfaits) b) Le produit

20 0 +5 –10 x g ’(x) = 2 g(x) –5 − 1 2 +5 + 0 –9 11 Voici les copies d’écran , concernant leur représentations graphiques sur l’intervalle [–5 ;5] selon les modèles CASIO et T.I. b) Etude des variations d’une fonction polynôme de degré 2 : Soit f la fonction définie par : f ( x ) = − x 2 + 4 x + 7 f '(x) = –2x +4 f '(x) = 0 si et seulement si: –2x = –4 soit : x = 2. D’où : • Tableau de signe de f '(x) x −∞ Page 3 2 +∞ Etude_fonctions_exemples.doc Y

minoration, de majoration, théorème dit « des gendarmes ») - Les opérations entre limites (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée). En cas de forme indéterminée, on utilise souvent les résultats : - La limite en ± ∞ d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré - La limite en ± ∞ d’une fraction rationnelle est celle du quotient simplifié des termes de plus haut degré - Les limites par croissances comparées (cf paragraphe exponentielle et logarithmes) Asymptote verticale

exemple le cas en 0 de la fonction f définie par f ( x ) = sin pour x = 0 x et f (0) = 0. PAUL M ILAN 2 T ERMINALE S 1.3 C ONTINUITÉ DES FONCTIONS USUELLES 1.3 Continuité des fonctions usuelles Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R. 1 est continue sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ x • La fonction valeur absolue x → | x | est continue sur R. √ • La fonction racine carrée x → x est continue sur [0; +∞[ • La fonction inverse x → • Les fonctions x →

d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.6 Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

− 3a2 On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1). no 11 (****) On veut calculer S = tan 9◦ − tan 27◦ − tan 63◦ + tan 81◦ . 1) Calculer tan(5x) en fonction de tan x. 2) En déduire un polynôme de degré 4 dont les racines sont tan 9◦ , − tan 27◦ , − tan 63◦ et tan 81◦ puis la valeur de S. c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr no 12 (***) Combien l’équation tan x + tan(2x) + tan(3x) +

+ p(t)y + q(t)y = g(t) S A C 2 A (13) La méthode des coefficients indéterminés consiste à deviner la solution particulière yp , dans le cas où p(t) et q(t) sont constantes. - Cette méthode s’avère très efficace lorsque le terme g(t) est un polynôme, une exponentielle, un sinus, un cosinus, ou encore une somme ou un produit de telles fonctions. M A S N La méthode consiste essentiellement à choisir yp (t) d’une forme similaire à la fonction g(t) correspondante, quitte à ce que la forme d’abord

caractéristiques suivante de yt : 1. l’espérance de yt, qu’on notera µ, � Avant toute chose, vérifions la stationnarité de ce processus AR(2). On peut écrire yt comme suit yt − ϕ2yt−2 = α + ϵt (1− ϕ2L 2)yt = α + ϵt A(L)yt = α + ϵt, notons que le polynôme A(L) = 1 − ϕ2L 2 possède comme racine ± 1√ ϕ2 . Sachant que |ϕ2| < 1, les deux racines sont à l’extérieur du cercle unité par conséquent le processus AR(2) est stationnaire. Ainsi, pour tout t l’espérance de yt est la même. D’où

est limite uniforme de polynômes trigonométriques (combinaisons finies des einx). Soit (Pk)k∈ une telle suite. On a : ⌠ –––– ∀ k,  f(t) Pk(t) dt = 0 ⌡–π En passant à la limite (légitime puisque la convergence est uniforme), on obtient : π π ⌠ ––– ⌠ =  f(t) f(t) dt = 0 =  f(t) 2 dt ⌡–π ⌡–π D'où f = 0. Pour f continue par morceaux, la démonstration est plus difficile. f n'est pas limite uniforme de polynômes sinon, f serait continue. Cependant, f est limite de polynômes pour la norme || ||2. En

de référence Fonctions linéaires et fonctions affines Variations de la fonction carré, de la fonction inverse. Études de fonctions Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions homographiques. • Connaître les variations des fonctions carré et inverse. • Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse. • Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. • Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique