Polynôme

sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. x →2 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la

nécessairement des chiffres). • Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération. Poids faible Poids fort 345 , 567 Partie fractionnelle Partie entière 3 Développement en polynôme d’ d’un nombre dans le systè système dé décimal • 4 Comptage en dé décimal Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante : 1978 = 1000 + 900 + 70 + 8 1978 = 1 * 1000 + 9 * 100 + 7 * 10 + 8 * 1 1978 = 1

polynomiales, par exemple, ne sont pas construites ainsi). Évidemment, toutes ces petites fonctions se ressembleront fortement, c'est-à-dire qu'elles seront de même nature, mais leurs coefficients varieront. Lorsque ces « petites » fonctions sont des polynômes de degré fixé, on parle de spline. Par exemple, l'interpolation linéaire porte aussi le nom de spline linéaire, et c'est aussi le cas de la cubique. Interpolation linéaire Cette interpolation est simplissime, elle relie simplement deux points

. 4.9.4 Détermination du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 5.1 5.2 5.3 5.4 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres Propriétés du polynôme caractéristique . . . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32 35 38 40 40 42 43 45 45 46 47 48 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 52

5-11 LGCD ,5-11 PROPFRAC ,5-11 SIMP2 ,5-11 Menu INTEGER ,5-11 Menu POLYNOMIAL ,5-12 Menu MODULO ,5-12 Applications du menu ARITHMETIC ,5-13 Arithmétique Modulaire ,5-13 Anneaux arithmétiques finis dans la calculatrice ,5-15 Polynômes ,5-19 Arithmétique modulaire avec des polynômes ,5-19 Fonction CHINREM ,5-20 Fonction EGCD ,5-20 Fonction GCD ,5-21 Fonction HERMITE ,5-21 Fonction HORNER ,5-21 La variable VX ,5-22 Fonction LAGRANGE ,5-22 Fonction LCM ,5-23 Fonction LEGENDRE ,5-23 Fonction PCOEF ,5-23

exponentielle et sa tangente en 0 se confondent au voisinage de 0. 5/ Croissances comparées D’autres résultats sur les limites, liés à la fonction exponentielle sont également à connaître. Ils permettent de trouver les limites de fonctions mélangeant polynômes et exponentielle. Le premier de ces résultats est le suivant : [pic] Démonstration  : Soit la fonction h définie sur R par : [pic] Par addition, h est dérivable sur R et : h(x) = ex - x Or, nous avons montré plus haut que pour tout réel

solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme (z – 2)(az 2 + bz + c) = 0 où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera. 2 3 + 2(2 2) – 16 = 8 + 8 – 16 = 0 donc 2 est solution de l’équation (E). On en déduit que le polynôme du 3ème degré peut se factoriser par (z – 2) : z 3 + 2z 2 – 16 = (z – 2)(az 2 + bz + c) = az 3 + bz 2 + cz – 2az 2 – 2bz – 2c = az 3 + ( b – 2a )z 2 + ( c – 2b )z – 2c Par identification des termes

TL on a alors (avec an=1) : G(s)= – Y(s) U(s) G(s) est la fonction transfert du système considéré Système  Dans l’espace des complexes on peut factoriser cette fonction de transfert G(s) – N(s) est le numérateur : polynôme en « s » D(s) est le dénominateur : polynôme en « s » Les pi sont les pôles du système (solution de D(s)=0) – Les zi sont les zéros du système (solution de P(s)=0) – – Système  On défini également : lim  ( s G ( s )) s 0 – Le gain statique Ks :   Le type

Pour développer (A + B + C)2, posons provisoirement B + C = S. On aura successivement : (A + B + C)2 = (A + S)2 = A2 + 2AS + S2 = A2 + 2A(B + C) + (B + C)2 = A2 + 2AB + 2AC + B2 + 2BC + C2 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC Carré d’un polynôme. En posant B + C + D = S et en utilisant le résultat précédent on développe de même (A + B + C + D)2, on obtient : (A + B + C + D)2 = A2 + B2 + C2 + D2 + 2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD + 2CD. Cube d’un binôme. On a successivement : (A + B)3 = (A +

vecteurs et processus gaussiens . . . . . 6.1.3 Regression a¢ne dans L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 La notion d’innovation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Polynômes d’opérateurs retard L et avance F . . . . . . . . . 6.2.1 Rappels sur les opérateurs retards . . . . . . . . . . . 6.2.2 Inversibilité des polynômes P (L) . . . . . . . . . . . . 6.3 Compléments sur les séries stationnaires : les autocorrélations 6.3.1 Autocovariance et autocorrélation . . . . . . . . . . . 6.3.2 Autocorrélations