Polynôme

x sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • x →+∞ x →2 lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite

Cette entreprise réalise un bénéfice nul quand elle produit 20 000 ou 80 000 objets. x2 = 4. Etude des variations de la fonction B sur [0; 100] : Toujours les trois mêmes étapes fondamentales : Je dérive la fonction : Comme c’est une fonction polynôme de degré 2, elle est définie et dérivable sur IR et donc sur [0; 100] . On a pour tout x ∈ [0; 100] : B ' ( x ) = −0,05 × 2 x + 5 = −0,1x + 5 J’étudie le signe de la dérivée : C’est une dérivée du type ax + b , l’étude du signe a été vue en seconde

impérativement débuter par le domaine de validité de cette équation : il faut en effet s’assurer que les solutions, si elles existent, sont telles que x 2+4x+3 et -2x−5 soient strictement positifs. • Pour le polynôme du second degré x 2+4x+3 : On calcule son discriminant =b 2−4ac=42−4×1×3=4 ; comme >0, le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) à l’extérieur de ses racines qui sont : x1= -b− =-3 et x2=-1. 2a • -2x−5>0ñ−2x>5ñx0 et b>0 : lna=lnbña=b ln(x 2+4x+3)=ln(-2x−5) ñx 2+4x+3=-2x−5 ñ x 2+6x+8=0

dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle Ι si elle est dérivable en chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions

a. Par ailleurs, lorsque le signe du reste n’est pas évident, on peut aussi étudier les variations de f(x) – P(x), où P(x) = est le polynôme de Taylor de f en a. Encadrements tayloriens classiques Exponentielle. Sur R+, exp x est supérieur à tous ses polynômes de Taylor. Sur R, exp x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs. (1) x  0 1 + + + ... +  exp x (2) x  0 1 + + + ... +  exp x

l'information utile. La différence (n-k) est le nombre de bits dans le caractère de vérification du bloc (BCC : Block Check Character). Il faut deux polynômes pour former le message codé F(X): le polynôme générateur P(X) et le polynôme du message G(X) contenant l'information utile. Il existe des normes mathématiques pour les polynômes générateurs.  Les polynômes suivants sont parmi les plus courants :                                   - CRC-12                       X12 +X11 +X3 +X2 +X1 +X0                                  

temporels: Considérons ( ) ( ) ( )pD pNpF = avec deg(N)≤deg(D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pD pN pD pN pD pN pD pNpF 3 3 2 2 1 1 ++== Avec: 1- D1(p) est un polynôme ayant toutes les racines simples, 2- D2(p) est un polynôme ayant toutes les racines complexes conjuguées deux à deux, 3- D3(p) est un polynôme ayant des racines multiples. - Cas 1: Si les pôles sont simples ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 1 − − − ++ − + − = n n pp A pp A pp A pD pN LLL Avec:

trigonalisable dans une base indépendante de t, une fois effectué le changement de base. Cela s'applique en particulier lorsque A est une matrice constante : EXEMPLES :  x' = 7x + 10y u Résoudre  y' = –3x – 4y 7 10 La matrice A vaut  –3 –4  de polynôme caractéristique λ2 – 3λ + 2 = 0 d'où λ = 1 ou 2. Pour     5 λ = 1, un vecteur propre est donné par  –3 , alors que pour λ = 2, un vecteur propre est donné par      2 . On prend donc D =  1 0  avec P =  5 2 . On a A = PDP–1.  –1 

division entière d’un nombre entier A par un nombre entier B. • Écrire l’algorithme qui donne comme résultat VRAI si deux nombres A et B, saisis en entrée, sont de même signe, et FAUX sinon. • Écrire l’algorithme qui donne comme résultat VRAI si un polynôme de degré deux AX2+BX+C possède deux racines distinctes. • Écrire l’algorithme qui calcule le max de deux nombres réels A et B. 1 15/10/2010 17 EST Essaouira - Université Cadi Ayyad TM1 & AGT1 Exercices – chercher l’erreur 0011

Pour cette partie, la calculatrice est autorisée, toutefois, les calculs intermédiaires devront figurer sur la copie. Donner les valeurs de m pour que l’équation x 2 +(m +1)x −m 2 +1 = 0 admette une racine On considère les fonctions polynômes f et g définies par : f (x) = 3x 2 + 4x − 15 et g (x) = 3x 3 + 4x 2 − 18x + 5 Pour cette partie, la calculatrice n’est pas autorisée. 1. Résoudre l’équation f (x) = 0. 2. Factoriser f (x). 3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x