Polynôme

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formes indéterminées Quand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées : Formes indéterminées ∞ ∞ 0×∞ 0 0 +∞ − ∞ Indéterminations levées par le cours Polynômes, fonctions rationnelles • La limite d’un polynôme en +∞ ou −∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré. • La limite d’une fonction rationnelle en +∞ ou −∞ est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. Nombres dérivés Les limites suivantes sont fournies dans le cours

La numérotation des coins est faite dans le sens anti-horaire, à partir du coin inférieur gauche. 56 Extremum Extremum[Polynôme f] : Tous les extremums locaux du polynôme f (en tant que points). Foyer Foyer[Conique c] : (Tous les) foyers de la conique c PointInflexion PointInflexion[Polynôme f] : Tous les points d’inflexion de la courbe représentative du polynôme f. Intersection Intersection[ligne g,ligne h] : Point d’intersection entre les lignes g et h. Intersection[ligne g,conique

. 4.9.4 Détermination du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 5.1 5.2 5.3 5.4 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres Propriétés du polynôme caractéristique . . . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32 35 38 40 40 42 43 45 45 46 47 48 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 52

s’écrit : La fonction de transfert en boucle fermée à partir de la référence par rapport à la température ambiante « », et la température de sortie mesurée par rapport à la température ambiante «  », est : Le polynôme caractéristique en boucle fermé : Et la boucle fermée souhaitée a le polynôme caractéristique :  : est la pulsation non-amortie. ζ: est le coefficient d'amortissement. À partir les deux équations précédentes on a : Et le paramètre de gain intégral Plus

Montrer que si f (n) 2 O(g(n)), alors f (n) + g(n) 2 O(g(n)). 6. Montrer que f (n) + g(n) 2 ⇥(max(f (n); g(n))). 7. Montrer que O(f (n) + g(n)) = O(max(f (n); g(n))). Exercice 5 – Comportement asymptotique des polynômes Soit p(n) = d X a i ni i=0 où ad > 0, un polynôme en n de degré d, et soit k une constante. Utiliser les définitions des notations asymptotiques pour démontrer les propriétés suivantes : 1. Si k d, alors p(n) = O(nk ). 2. Si k  d, alors p(n) = ⌦(nk ). 3

différents: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre. 2334567 Poids fort Poids faible 345 , 567 Partie fractionnelle 3 Partie entière 4 Développement en polynôme d’un nombre d’ dans le système décimal systè dé • Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante : • • • • Comptage en décimal dé Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1 Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1

graphiste a besoin de construire une courbe lisse qui passe par un certaine nombre de points donnés (b0, c0), (b1, c1), (bn , cn). Une façon (assez basique) de faire cela est de construire un polynôme dont le graphe passe par ces points. Nous supposons donc donnés les points (bi , ci ) et nous cherchons un polynôme P(x) = an xn + . . .+ a0 qui a le propriété que P(b0) = c0, . . .P(bm) = cm . 1. Montrer que cela équivaut à M(b0, . . . bm)  a0 a1 ... an =  c0 ... cm  ou M(b0, b1, . .

La numérotation des coins est faite dans le sens anti-horaire, à partir du coin inférieur gauche. 56 Extremum Extremum[Polynôme f] : Tous les extremums locaux du polynôme f (en tant que points). Foyer Foyer[Conique c] : (Tous les) foyers de la conique c PointInflexion PointInflexion[Polynôme f] : Tous les points d’inflexion de la courbe représentative du polynôme f. Intersection Intersection[ligne g,ligne h] : Point d’intersection entre les lignes g et h. Intersection[ligne g,conique

Holme et Papadimitriou π 1. Démontrer que pour tous θ ∈ ]0, [ et n ∈ * : 2 n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2. On considère, pour n ∈ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j =0 * ( ) n− j [On pourra utiliser la formule de Moivre] , le polynôme Pn défini par : n  Pn = 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 X n − j j =0 Démontrer que les n racines de Pn sont les réels : αk = cotan2 n kπ ,1 2n + 1 k n. 3. Montrer que : k =1 cotan2 kπ n( 2n − 1) = . 2n + 1 3 π 1 [, on a