Projection orthogonale

sujets de concours. Les vecteurs Base vectorielle → → → − − − Une base vectorielle de l’espace est la donnée de trois vecteurs ( e 1 , e 2 , e 3 ) non coplanaires. Base orthogonale : les vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux. − Base normée : les vecteurs de bases sont unitaires : → = 1. S’ils sont orthogonaux, la base est dite ore i → − → − 2 → → − − 2 2 2 = U · U = u1 + u2 + u3 . →→ − − ® On a U · V = U V cos(U , V ). → − → − − − − − ® Les coordonnées

coordonnées cartésiennes de ces sommets sont respectivement : √ √ 2 1 2 1 1 1 √ = √ √ = √ x= y= × × 2 2 1+ 2 2+ 2 1+ 2 2+ 2 et √ 1 − 2 1 √ = √ x= × 2 1− 2 2− 2 √ − 2 1 1 √ = √ . y= × 2 1− 2 2− 2 Propriétés géométriques des coniques Exercice 5 - Projections orthogonales sur les axes d’une hyperbole - L2/Math Sup 2 Dans un repère orthonormée, l’équation réduite de l’hyperbole est x2 − y2 = 1. Les axes a b b b de l’hyperbole sont (D) d’équation y = − a x soit bx + ay = 0 et (D ) d’équation y = a x, soit

produit interne est un moyen de mesurer comment deux vecteurs sont parallèles. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Remarque : angle en deux vecteurs. Si deux vecteurs qui ne sont pas parallèles forment un angle entre eux. Si x et y sont deux vecteurs Euclidiens, alors ils forment un angle θ définit par : cosθ = x, y . x y Les deux vecteurs x et y sont dit orthogonaux quand leur produit interne est nul ( θ =90°), on le note x ⊥ y . Remarque : parfois le produit entre

............................................................. 53 2 – Relations de comportement en élasticité ........................................................................ 55 2 – 1 Etat de traction et compression dans deux directions orthogonales ........................ 55 2 – 2 Etat de cisaillement pur ................................................................................................ 57 2 – 3 Loi de Hooke généralisée .....................................................

appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre 7 la théorie des espaces vectoriels euclidiens (projections orthogonales, procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt), et le Chapitre 8 est consacré aux matrices carrées symétriques et orthogonales, avec applications à la Géométrie. Le dernier Chapitre est consacré à la notion de tenseur en Physique. De même que dans le cours d’algèbre, on a mis l’accent sur la possibilité

forme plus commune suivante: u·(v+w)= u·v+ u·w, (u+v)·w= u·w+ v·w, u·(k v)= (k u)·v= k u·v; u·v= v·u, symétrie ; définition positive. u·u> 0 ∀ u ∈ V, u·u=0 ⇔ u= o, bilinéarité ; Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v= 0. On prouve facilement que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. On sait de l'algèbre que l’on peut définir plusieurs normes pour un vecteur, et que dans un espace à dimension finie elles sont toutes équivalentes. Nous prendrons comme norme d’un vecteur

humanisme, harmonie des sphère, nombres, progrès, vision quantitative de l’espace. Artiste = activité libérale CLOS et STATIQUE Impression de plénitude donné pas m’équilibre des forces qui se contrarient. Synthèse idéale entre Arts et sciences Projection de l’organisation interne sur la façade Espace = continu et uniforme, subdivisé par des éléments architectoniques disposés géométriquement Florence Renaissance Naissante (XV siècle) • Détour par l’antiquité - Brunelleschi (1377-1446) :

s'ensuit un désaccord de phase qui se JJG JJG JG JJG G traduit par le vecteur ∆k (projection ∆k z dans la direction z), tel que k 'R + K + ∆k = k (figure 5c). Faisceau référence a b JG k θR z θ Figures 5 JJJG JG ∆k k θ θR JG kR Faisceau objet c JJG K z JG k'R JJG K ∆k z z ∆θR L L'intensité diffractée par l'hologramme obéissant à une loi du type sin c2 (∆k z .L z ) (où Lz correspond à la projection sur z de l'épaisseur traversée par le faisceau diffracté), l'onde de référence lors

qui possède la plus grande « inertie », c’est-à-dire celui dont la part de variance est la plus forte. Cet axe principal constitue le meilleur « ajustement », au sens des « moindres carrés orthogonaux », du nuage plan sur un nuage similaire porté par une droite (de «régression » donc). Les autres axes, orthogonaux avec le premier, ainsi qu’entre eux, sont tous issus de la poursuite de la décomposition factorielle itérative du tableau de données initial qui fait l’objet de l’AFC. Ils possèdent toujours

faces d’entrée dans la base de données en projetant chaque image faciale dans l’espace face. Transformant chaque face en ses C.u i = λi .u i u iT .C.u i = u iT .λi .u i u iT .C.u i = λi .u iT .u i (4) (5) (6) Les vecteurs propres sont orthogonaux et normalisés : u iT * u j 1 =  0 i = j i ≠ j (7) Combinons l’équation (2) et (6) et (.7) : λi = uiT .C.ui = 1 T M .ui .∑ Φ n .Φ T .ui n M n =1 1 M λi = ∑u n =1 M T i .Φ n Φ T .ui n SETIT2005 composantes