Puissance d'un nombre

conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n. Exercice n°2. u est la suite définie par u0 = 0 et pour tout nombre entier naturel n, u n + 1 = un + 2(n + 1). 1. Calculer u1 et u2. u 1=0+ 2×1=2 et u 2=2+2×2=6 2. On considère l'algorithme suivant : Entrée : Saisir N (nombre entier naturel non nul) Initialisation : U prend la valeur 0 Traitement : Pour K de 0 jusqu'à N – 1 U prend la valeur U + 2(K + 1) FinPour V prend la valeur U – N Sorties :

revue des nombres complexes et leurs propri´ t´ s est pr´ sent´ e, tandis que la seconde ee e e partie de ce chapitre donne une revue des notions des circuits en r´ gime sinuso¨dal pere ı manent. 1.1 Nombres Complexes Notation : C : Ensemble des nombres complexes. Soit z, un nombre complexe. z = a + jb ` ou a est la partie r´ elle et b est la partie imaginaire. Il faut noter que a et b sont tous deux e des nombres r´ els. e Propri´ t´ s des nombres complexes ee Les e √ nombres complexes

MATHEMATIQUES 1 NOMBRES complexes 1 Construction et définition des nombres complexes : On appelle [pic] l'ensemble [pic] des couples de nombres réels muni des opérations internes suivantes : l On peut démontrer les propriétés fondamentales de ces opérations, que l'on déduira des propriétés de [pic]. 1. Associativité de chacune des opérations : [pic] 2. Existence d'un élément neutre pour chacune des opérations : [pic] 3. Tout nombre complexe a un opposé pour l'addition , et tout nombre complexe

Les nombres complexes - BTS ATI Table des matières 1 Écritures d’un nombre complexe 1.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linéariser une expression 2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . .

b' + b ) z - z' = ( a - a' ) + i ( b + b' ) z x z' = ( a.a' - b.b' ) + i ( a.b' + a'.b ) si z' différent de 0 alors z/z' = ( a + ib ) / ( a + ib ) = ( a + ib )( a' - ib' ) / ( a' + ib' )( a'-ib' ) Exemple : écrire sous forme algébrique les nombres compexes suivants : z1 = ( 1 + i ) ( 2 - 3i ) - 3 ( 4i ) ( 3i + 1 ) + ( 1 + i )² = ( 2-3i+2i+3 ) - 3(12i² + 4i )+ ( 1+2i-1 ) = 4i - 11i z2 = 2i / ( 1 + i )² = 2i / 1+2i-1 = 2i / 2i = 1 z3 = 1+3i / 3+2i = ( 1+3i )( 3+2i ) / ( 3-2i ) ( 3+2i ) =

Les Nombres Complexes Prérequis: Coordonnées cartésiennes/polaires dans le plan réel Trigonométrie (formules + cercle) Résolution d'équation du second degré Exponentielles Introduction: On donne aux élèves des équations du second degré à résoudre pour d'une part vérifier les acquis et d'autre part introduire la notion de nombre imaginaire. Ex: x² = 16 (x-2)² = 0 2x² + 1 = 4 x x² = -1 On présente la solution de la dernière équation d'un point de vue historique (conformément

Nombres complexes 2ème partie II] Forme trigonométrique 1. Module d'un nombre complexe • Si le point M est l'image du complexe z = a + bi ( a ∈ IR , b ∈ IR) dans le plan complexe ! , on appelle module de z, noté z , la distance OM z = OM = a² + b² ou z n = zz ; |z + z'| ≤ |z| + |z'| • Propriétés : |z| = 0 ⇔ z = 0 ; n |zz'| = |z|.|z'| ; z = z Pour z' non nul : |- z| = |z| ; z=z z 1 1 z' z et = = = z' z' z' ² z' z' Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z|

Forme trigonométrique des nombres complexes Argument d’un nombre complexe non nul → → • Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M. M(z) On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle −−→ → orienté − u , OM . −−→ → → − u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est → O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est un

Forme algébrique des nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels. Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels. Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie

et b deux complexes. a) Déterminer a et b pour que f(1+i) = -1+2i et f(3+2i) = 3+6i. b) Calculer alors f(i) et f(-1). Exercice2 : Pour tout complexe z on pose f(z) = z2 – 5iz –4. 1) Calculer f(i) ; f(1+i) ; f(3+5i/2)  et f(4i). 2) Soit  un nombre complexe ; déterminer en fonction de , les solutions de l’équation f(z) = f(). 3) Montrer que si z est imaginaire pur alors f(z) est réel. 4) Déterminer l’ensemble E des complexes z tels que f(z) soit réel. Exercice3 : a) Calculer les coordonnées