Puissance d'un nombre

………… [pic] ……….si a est …………..et b est ………… (attention à envisager tous les cas) [pic]…………………………………. Par exemple [pic] …………………………. III Extraction : Chaque fois qu’on voit une racine carrée il faut essayer de sortir (d’extraire) le plus grand nombre possible. Pour cela il faut faire apparaître à l’intérieur (dans le radicande) le plus grand carré possible. Exemples : [pic] ou [pic] Exercice : simplifier au maximum [pic]= ……………………………….. = ……………………………….. = …………………..= …….. IV Conjugaison :

un intervalle I, F une primitive de f sur I et k un nombre réel. La fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k est encore une primitive de f sur I. III. Primitives de fonctions usuelles f(x) 0 a x xn ],0[ ou ]0,+ ]0,+ (où k ) [ [ , n différent de -1 I F(x) k ax+k Primitives d'une puissance f = u . u' , alors n + k. avec k nombre réel et n différent de -1. Primitives de l'inverse d'une puissance f= , alors + k. avec k nombre réel et n différent de 1. Primitives de l'inverse

CORRIGE DU TD z −1=z −1 z  z1 3 2 Ex1 : a) l' équation donc 2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré

Fonctions Excel Vous trouverez sur cette page les fonctions les plus utilisées, expliquées à l’aide d’un exemple simple. Logiques : SI | (effectuer des actions en fonction d'une condition) | SI imbriqués | (imbriquer plusieurs conditions SI) | Mathématiques : ARRONDI | (arrondir une valeur) | ARRONDI.INF | (arrondir une valeur vers le bas) | ARRONDI.SUP | (arrondir une valeur vers le haut) | MAX | (renvoyer la plus grande valeur) | MIN | (renvoyer la plus petite valeur) | MOYENNE

|0 |- |0 |+ | L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. On en déduit le domaine de définition de f : =∟ 2. Recherche d'un axe de symétrie. Compte tenu du domaine de définition de f, s'il y a un axe de symétrie pour la courbe C, son équation est x=2. Démontrons-le : On a, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=−4(2−x) ) f(2−x)=−8+4x )

Racine carrée A- Définition La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté 2  x dont le carré est égal à x. Ainsi, pour tout réel positif x,   x  = x et  x≥0 . Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif. Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de les reconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc... En général on ne peut écrire que des valeurs

β=P(α)=P(−1)=2×(−1)2+4×(−1)+1=2−4+5=3 La forme canonique de P(x) est donc : P(x)=2(x+1)2+3 2. Equations du second degré Définition On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0 Remarque Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" ! Définition On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre : Δ=b2−4ac Théorème Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1= −b−√Δ 2a et x2= −b+√Δ 2a Si Δ=0, le polynôme P admet une racine

Définition de la fonction dérivée   Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur .  On dit que la fonction f est dérivable sur  si elle  est dérivable en tout nombre réel  de . Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé  de f en  s’appelle la fonction dérivée de f. On la note :            Exemple   Soit f la fonction définie sur  par :  Soit  On a :        Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc  La fonction f est donc dérivable en , pour tout 

Résumé des notions du chapitre 1 Notion chapitre 1 Rôle des paramètres a, b, h, k Réciproque Composé de fonctions Formule Résultat Étirement pour a et b Translation pour h, k Intervertir les variables dépendantes f-1 et indépendantes f ο g = f(g(x)) Cela se termine toujours par une fonction Fonction définie par parties Fonction racine carrée Plusieurs fonctions f ( x ) = a b( x − h ) + k Recherche de la règle d’une fonction racine carrée Cela prend un sommet et un point quelconque. Le paramètre

EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats 1) Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n