Quantile

Institut Universitaire d’Abidjan (IUA) INTRODUCTION A LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE LES QUALITES Définitions On appelle quantile d’ordre ?%, et on note ?? , la valeur ?? du caractère telle que ?% des valeurs observées soient inférieures strictement à ?? . Soit F la fonction « fréquences cumulées croissantes » alors ; ?(?? ) = ?⁄??? La médiane, notée Me, est le quantile d’ordre 50%. Elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille. Les trois quartiles partagent la

intervalles de confiance, on ne peut pas dire qu’il y a une différence entre les moyennes (théoriques) des deux groupes. STA301 Université Grenoble AlpesTD4 Estimation et intervalles de confiance 4. La seule chose qui change dans la formule est le quantile u1−α/2. Pour un niveau 0.9, on a 1 − α/2 = 0.95 et on lit sur la feuille de TD que u0.95 = 1.64. L’application numérique sur les données renvoie : — I(µ1, 10%) = [77.4, 84.0] pour le premier groupe, — I(µ2, 10%) = [81.1, 87.3] pour le second groupe

fournir des résumés synthétique de séries de valeurs, adaptés à leur type (qualitatives ou quantitatives), et observées sur une population ou un échantillon. Dans le cas d’une seule variable, Les notions les plus classiques sont celles de médiane, quantile, moyenne, fréquence, variance, écart-type définies paral- lèlement à des représentations graphiques : diagramme en bâton, histogramme, diagramme-boîte, graphiques cumulatifs, diagrammes en colonnes, en barre ou en secteurs. Dans le cas de deux variables

(𝑚4). 𝒎𝟒 = 𝟏 𝒏 ෍ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒏𝒊(𝒙𝒊 − ഥ𝒙)𝟒 On rappelle que le moment centré d’ordre 2 est la variance. On peut aussi se utiliser le coefficient quantile calculé à partir des quartiles et des déciles.2. L’aplatissement  La mesure : coefficient d’aplatissement de Pearson (𝛽2) 𝜷𝟐 = 𝒎𝟒 𝝈𝟒 Ainsi, par rapport à une distribution normale de même moyenne

5 ) = P (Z ≤ −1, 2) = F (−1, 2) = 1− F (1, 2) = 1− 0, 8849 = 0, 1151. Chez environ 11, 5% des enfants les premiers mots apparaissent avant 9 mois. 1.3) On recherche le quantile d’ordre 0, 98, noté q0,98, pour la variable X . D’après la formule du cours, q0,98 = σ × z0,98 + µ, soit q0,98 = 2, 5× z0,98 + 12, où z0,98 est le quantile de la loi normale centrée/réduite. D’après la table, il vaut environ 2, 05, et donc q0,98 = 17, 125. Chez 2% des enfants, les premiers mots apparaissent après 17, 1 mois

Page 4 4 VaR VaR = Value at Risk =perte potentielle maximale pour une probabilité fixée sur une période donnée. Exemple si VaR(95%,10jours)=1 Million €, la perte maximale sera inférieure à 1 Million €, avec une probabilité de 95% VaR = quantile Très utilisé, car rend bien compte de la notion de risque, y compris et surtout extrêmes facile à comprendre … devient réglementaire : Bâle (1995) VaR 1 %, à 10 jours, sur historique de 1 an au moins. Besoin en capital = Max [VaR(jour-1)

DISTRIBUTION GROUPÉ * QUANTILES Le quantile qp d’ordre p (0≤p≤1) est la plus petite valeur observée de la variable parmi celles dont l’effectif cumulé est supérieur ou égal à np, c-à-d parmi celles dont la fréquence relative cumulée est supérieure ou égale à p. * Quantiles: * la médiane (p=1/2) * Les quartiles * 1er quartile (p=1/4) * 2ème quartile = médiane (p=1/2) * 3éme quartile (p=3/4) * Les déciles (p=1/10, p=2/10, ..., p=9/10) Le quantile qp d’ordre p d’une série

données. Cette structure est également adaptée au calcul de mesures de volatilité des estimations de réserves et d’indicateurs de valeurs centrales de la loi des réserves (quantiles,…). Mots clés Provisionnement stochastique, Modèles Additifs Généralisés, Modèles Linéaires Généralisés, Chain Ladder, Mack, Bootstrap, Méthode Delta, quantiles. 1 SOMMAIRE I. INTRODUCTION ...........................................................................................................2 II. METHODOLOGIE DES

des rentabilités autour de leur moyenne : en effet, son expression en fonction du vecteur des rentabilités R est σ = E[(R − E(R))2 ]. Elle prend donc en compte toutes les rentabilités, positives ou non, extrêmes ou non. – la Value-at-Risk est le quantile de perte déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une probabilité d’occurrence faible sur un horizon donné : elle mesure ainsi le risque extrême. La logique entre les deux mesures est donc différente. En effet, la volatilité

17 5,34 5,26 4,80 Max 18,18 16,54 15,91 15,14 15,00 16,64 18,18 15,48 13,60 12,25 12,09 Quantile 25% 10,15 9,33 9,16 8,86 8,84 9,51 10,15 8,72 8,32 8,12 7,67 Quantile 75% 14,76 13,96 13,42 13,50 13,08 14,33 14,76 13,19 11,63 10,23 10,83 Quantile 90% 16,00 15,39 14,67 14,19 13,82 15,10 16,00 14,17 12,33 11,15 11,40 Résultats issus du traitement