Racine d'un nombre

Première S7 Devoir surveillé n°1 – Second degré Exercice n°1 (3 points) : Question de cours Soient ?, ? et ? trois réels où est ? est non nul. Sachant que pour tout ? réel, on a : ? Δ ??² + ?? + ? = ? ? + 2? ² − 4? , démontrer que lorsque Δ > 0, l'équation ??² + ?? + ? = 0 admet deux solutions distinctes que l’on précisera. Exercice n°2 (3 points) : Résoudre dans ℝ l’équation : ? 4 − ?² − 6 = 0. Exercice n°3 (8 points) : Les courts de tennis sont de forme rectangulaire mesurant

Les fonctions polynômes du second degré I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Une fonction polynôme est une fonction qui s’écrite sous la forme de avec , et . Exemples : Les fonctions suivantes sont des fonctions polynôme du second. a. avec et . b. avec , et . c. avec , et d. avec , et e. avec , et . 2. Rappel sur l’étude d’une fonction   du second degré Domaine de définition : Toutes les fonctions polynômes de degré deux sont définies

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est

=1 et x 2= 2a 6 6 3 2a 6 6 On en déduit le signe de f ' ( x) . Pour cela, nous avons 2 méthodes : 1ère méthode : on récite le théorème du cours de 1ère S : «On sait que qu'un trinôme du second degré est toujours du signe de "a" à l'extérieur des racines ». 2ème méthode : On factorise l'expression de f ' ( x ) puis on fait un tableau de signes : 5 f ' (x)=a( x− x 1)( x− x 2)=3( x+ )( x−1) 3 ou encore f (x)=(3 x+5)(x−1) Attention : Il faut séparer le tableau de signes de f ' et le tableau de variation

3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple : Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32

Définition 2 On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable x solution de l'équation du second degré : ax 2 + bx + c = 0 x ySecond degré Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exemple : 3 est une racine du trinôme 2x 2 – 4x – 6. Exercice : trouver les racines du trinôme x 2 – 3 : On résout l’équation x 2 – 3 = 0 par factorisation : (x – 3 )(x + 3 ) = 0 et on trouve S = { – 3 ; 3 } D’une manière générale, comment trouver les racines d’un trinôme ax 2 + bx + c ?

POLYNOMES 1/ écriture d'un polynôme a ) un polynôme réduit Par définition un polynôme est une somme de monômes. Quand un polynôme contient plusieurs monômes de même degré, on les regroupe en effectuant leur addition. On dit que l'on réduit le polynôme . Habituellement on ordonne les différents monômes en les rangeant dans l'ordre des puissances décroissantes . b) écriture générale d'un polynôme réduit et ordonné de degré 2 Un polynôme

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

coefficients du polynôme. Quelques exemples de degrés d’un polynôme Quelques exemples et contre exemples de polynômes 2) Racines d’un polynôme Soit P un polynôme. On dit que a est racine de P si P(a)=0. Exemples…. On parle également de zéros du polynôme Exemples de polynômes (degré 1,2,3 [pic] 3) Propriétés Th1) 2 polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Th 2) a est racine de P si et seulement si [pic], avec deg(Q)=deg(P)-1.

donc le trinôme f(x) = x2 – 4 x + 3 admet 2 racines x1 = 3 et x2 = 1 Par lecture graphique : Pour x < 1 ou x > 3, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3 < 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant : a = 1 > 0 Résolution d’une inéquation du second degré : Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6 : a = - 2; b = - 1 ; c = 6  = b2 – 4 ac = 49 > 0; donc le trinôme f(x) = - 2 x2 – x + 6 admet 2 racines x1 = 1,5 et x2 = - 2 Par lecture graphique :