Racine d'un nombre

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ² 6 1. Montrer que

non nul) Pour pouvoir résoudre une telle équation il faut tout d'abord calculer le discriminant Δ. Pour le calculer il est facile, il suffit d'appliquer cette formule : Δ = b² - 4ac On le calcule, ensuite selon le résultat on va pouvoir savoir le nombre de solutions qu'il y a, et les trouver s'il y en a. Si Δ < 0 , rien de plus simple : il n'y a pas de solution. Si Δ = 0, il y a une seule solution à l'équation : c'est x= -b/2a Si Δ > 0 il y a deux solutions qui sont x1 = (-b-√Δ)/2a et x2= (-b+√Δ)/2a

admet deux racines réelles distinctes r1 = −b + ∆ −b − ∆ et r2 = 2a 2a La solution générale de (II) est r x ySG ( II ) = C1e 1 + C2e r2 x avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 2. ∆ = b 2 − 4 ac = 0 L'équation caractéristique admet une racine réelle double Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. r=− Cours. b 2a La solution générale de (II) est ySG ( II ) = erx ( C1 x + C2 ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 3. ∆ = b 2 − 4 ac < 0 L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées

Montrer que P admet 6 pour racine. 4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points)

Exemples :  Résoudre l’équation : �� 2 + �� − 2 = 0 Δ = �� 2 − 4���� = 12 − 4 × 1 × −2 = 1 + 8 = 9 > 0 L’équation a deux solutions réelles distinctes : −1 + 9 −1 + 3 2 −1 − 9 −1 − 3 −4 ��1 = = = = 1 ���� ��2 = = = = −2 2 2 2 2 2 2 1 et −2 sont racines du polynôme �� 2 − 3�� + 2 Factorisation : �� 2 − 3�� + 2 = �� �� − ��1 �� − ��2 = �� − 1 �� + 2 Vérification : �� − 1 �� + 2 = �� 2 − �� + 2�� − 2 = �� 2 + �� − 2  Résoudre l’équation : −3�� 2 + 2�� − 4 = 0 Δ = �� 2 − 4���� = 22 − 4 × −3 × −4 =

alors f(u) < f(v). Une fonction f est décroissante lorsque, si u < v, alors f(u) > f(v). a) Soit u et v deux nombres positifs tels que 0 < u < v. (on va chercher à prouver que f(u) < f(v), c’est-à-dire ici que u² < v² car la fonction carré est croissante sur [0 ; + [. u² - 5 < v² - 5 f(u) < f(v) Donc la fonction f est bien croissante sur [0 ; + [. < .) b) Soit u et v deux nombres appartenant à l’intervalle ]- ; -3] tels que u < v < -3. (on va chercher à prouver que g(u) > g(v), c’est-à-dire

sont donc x = −2 et x = 3 . FI_EQ2.DOC II. Factoriser le trinôme du second degré : • Exemple : factoriser le trinôme P( x ) = 3x 2 + 5x − 12 • Méthode : si le trinôme P( x ) = ax 2 + bx + c n'a pas de racines on ne peut pas le factoriser si le trinôme P( x ) = ax 2 + bx + c a deux racines x′ et x′′ il peut s'écrire P( x ) = a( x − x′)( x − x′′) • Solution : ∆ = 25 − 4 × ( −12 × 3) = 25 + 144 = 169 −5 − 169 −5 − 13 x′ = = = −3 2×3 6 −5 + 169 −5 + 13 4 x′′ = = = 2×3 6 3 4 4   D'où P( x ) =

exercice 1 Calculer x1² + x2² et x13 + x23 où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c. exercice 2 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f

www.your1guide.blogspot.com 3. Développements limités On introduit la notion de « développement limité », qui est l’outil principal d’étude d’une fonction au voisinage d’un point. L’objectif est essentiellement d’apprendre à calculer des développements limités. En pratique, on commencera toujours par se ramener, au moyen d’un changement de variable approprié, au voisinage de 0. On consi0 dère donc, dans tout ce qui suit, un voisinage D de 0, contenu dans R, et, on écrit : f = o g au lieu de

|Consulter la démarche page 3 sur 3. | 1. Dans la barre d’outils, activer l’onglet « Curseur » puis créer les curseurs a, b et c en tant que nombres ; incrémentation : saisir 0.5 ; 2. dans la fenêtre « Saisir » entrer « f(x)=a*x^2+b*x+c », puis cliquer sur Entrer 3. Donner le nom de la courbe obtenue. 4. Cette courbe admet-elle un axe de symétrie ? Si oui, conjecturer