Racine d'un nombre

201-016-50 Techniques de factorisation : - Mise en évidence simple : on met le P.G.C.D. de tous les termes en évidence Mise en évidence double : on répète la mise en évidence en regroupant les termes Différence de carrés : x2 − a2 = Décomposition d’un trinôme de la forme ax2 + bx + c : méthode produit-somme Factoriser les polynômes suivants. a) 6x2 − 9ax + 4bx − 6ab = b) x2 + mxy − 4xy − 4my2 = c) 15a2 − 77a + 10 = d) 16y 4 − 25x2 = e) 16x 4 y6 − 49x8 y10 = Équation du second degré ou

2 + 4ac  + c = ax + +  4a 2a  4a  f  x  = a  x -  +  . 2 Remarque : Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour coordonnées S   ;  . Définition : Le nombre réel b2 - 4ac , noté  , est appelé discriminant de f. III. Equation du second degré Théorème : Le nombre de solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 dépend du signe de son discriminant. -b-   Si  > 0 alors l’équation admet deux solutions distinctes : x1 = et 2a -b+  . x2 = 2a b  Si  = 0 alors

expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une somme de monômes. • Une valeur numérique d’un polynôme est la valeur que l’on obtient en remplaçant

X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C . Conséquence 1 : Un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes. Conséquence 2 : Un polynôme P ∈ K n [ X ] qui s’annule au moins n + 1 a0 , …, an sont les coefficients de P et an son coefficient dominant. K [ X ] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans K. Degré d’un polynôme Si P est non nul, n est unique et s’appelle le degré de P. Par convention, le polynôme nul

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

égaux. Définition 2 On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable x solution de l'équation du second degré : ax2 + bx + c = 0 Second degré Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exemple : 3 est une racine du trinôme 2x2 – 4x – 6. Exercice : trouver les racines du trinôme x2 – 3 : On résout l’équation x2 – 3 = 0 par factorisation : (x – 3 )(x + S={– 3 ; 3} 3 ) = 0 et on trouve D’une manière générale, comment trouver les racines d’un trinôme ax2 + bx + c ? On va voir

discriminant du trinôme ax 2bxc ). ax 2bxc=0 n'a pas de solution. Si Δ < 0 , l'équation n'a pas de racines réelles. L'équation On ne peut pas factoriser l'expression ax 2bxc . Le signe de l'expression ax 2bxc ne change pas suivant les valeurs de x ; c'est le signe du coefficient a. Signe de ax 2bxc toujours du signe de a pour tout x ∈ ℝ. Si Δ = 0 l'équation admet une seule racine dite double La factorisation de ax 2bxc est : a  x− x 02 . Le signe de ax 2bxc est celui de a sauf

buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 2 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Définition Soit Le nombre nôme. avec est appelé discriminant du poly- C’est ce nombre qui va permettre de discriminer les équations gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ selon le nombre de solutions. Page 3 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème : Soit l’équation de discriminant o si alors l’équation

d’objets vendus est modélisé par la fonction B définie par B(x) = 1) Quel est le résultat pour x = 2 ? x = 15 ? 2) Pour quelles productions le résultat est-il nul ? Exercice 5 On considère l’algorithme suivant : Entrée | Affecter un nombre à la mémoire A | Traitement | Si Alors résoudre l’équation et affecter l’ensemble des solutions à la mémoire BSinon résoudre l’inéquation et affecter l’ensemble des solutions à la mémoire B | Sortie | Afficher le contenu de

es du 1er degré et                                                              Problèmes du 2ème  degré   I –Problèmes du 1er  degré ‐ Equations du 1er  degré – Inéquations du 1er  degré    1   On procède de la manière suivante pour la résolution d’un problème   1 – On détermine l’inconnue  2 – On ramène le problème à la résolution d’une équation (inéquation) du 1er  degré à une inconnue    3 – On résout l’équation (inéquation) et on détermine l’ensemble des solutions  4 – On interprète l’ensem